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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:18 Mo 26.05.2008 | | Autor: | fraiser |
| Aufgabe | Siehe Bild, Aufgabe 4:
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Zu 4.
a)Spiel 1: E(x)= [mm] (0,5)^3*2+(0,5)^2*1+(0,5)*(-1)+(0,5)*(-3)=-1,5
[/mm]
Spiel 2: E(x)= [mm] (0,5)^3*4+(0,5)^3*4+(0,5)^2*0+(0,5)*(-3)=-0,5
[/mm]
Richtig?
b) Wie geht das? Bitte Formel mit einer kleinen Erklärung, da Wikipedia und mein Mathebuch mir das nicht vermitteln können.
c)Nach meinen Ergebnissen von a) für das Spiel 2.
Richtig?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hallo,
zu a)
ich würde die durchschnittliche Gewinnerwartung mit einer Binomialverteilung beschreiben:
Spiel 1 :
${3 [mm] \choose 3}*\left(\bruch{1}{2}\right)^3*\left(\bruch{1}{2}\right)^0*5+{3 \choose 2}*\left(\bruch{1}{2}\right)^2*\left(\bruch{1}{2}\right)^1*4+{3 \choose 1}*\left(\bruch{1}{2}\right)^1*\left(\bruch{1}{2}\right)^2*2-3=-12,5ct$
[/mm]
Spiel 2:
${3 [mm] \choose 3}*\left(\bruch{1}{2}\right)^3*\left(\bruch{1}{2}\right)^0*7+{3 \choose 0}*\left(\bruch{1}{2}\right)^0*\left(\bruch{1}{2}\right)^3*7+{3 \choose 2}*\left(\bruch{1}{2}\right)^2*\left(\bruch{1}{2}\right)^1*3-3=-12,5ct$
[/mm]
zu b)
Hier bin ich mir nicht sicher, aber ich meine, die Standardabweichung wäre
[mm] $\sigma [/mm] = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)}=\wurzel{\bruch{3}{4}}\approx [/mm] 0,8660$
Sie beschreibt die durchschnittliche Abweichung der Zufallsvariablen X vom Mittelwert [mm] \mu [/mm]
[mm] $\mu [/mm] = n*p = 1,5$
also 0,634 [mm] \le \mu \le [/mm] 2,366
zu c)
Hier bin ich mir auch nicht sicher, aber da die Kombination 1 mal Kopf und 2 mal Kopf am häufigsten auftritt, und je mit gleicher Wahrscheinlichkeit, ergäbe sich bei Spiel 1 eine durchschnittliche Auszahlung von 3 Euro und bei Spiel 2 eine durchschnittliche Auszahlung von 1,5 Euro wenn man innerhalb des Intervalls bleibt, das die Standardabweichung um den Mittelwert zieht.
Also würde ich mich für Spiel 1 entscheiden - wenn ich eines von beiden nehmen müsste.
Da man auf Dauer aber bei beiden den gleichen Verlust macht, wäre es am vernünftigsten gar nicht zu spielen.
LG, Martinius
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:10 Di 27.05.2008 | | Autor: | Fulla |
Hallo fraiser,
Wenn 3 Münzen geworfen werden, gibt es 8 verschiedene Ausgänge:
KKK ZZZ
KKZ ZZK
KZK ZKZ
ZKK KZZ
zu a)
Hier sollst du den Erwartungswert von X (Gewinn des Spielers) berechnen. Du hast leider die falschen Wahrscheinlichkeiten benutzt...
Der Erwartungswert ist ja [mm] $E(X)=\sum_i x_i*p(x_i)$. [/mm] Also
[mm] $E(X_1)=2*\frac{1}{8}+1*\frac{3}{8}+(-1)*\frac{3}{8}+(-3)*\frac{1}{8}=-\frac{1}{8}=-0,125$
[/mm]
[mm] $E(X_2)=4*\frac{1}{8}+4*\frac{1}{8}+0*\frac{3}{8}+(-3)*\frac{3}{8}=-\frac{1}{8}=-0,125$
[/mm]
Das sagt uns, dass beide Spiele gleich schlecht sind: wenn man lange genung spielt (undendlich oft), verliert man im Schnitt bei beiden Varianten pro spiel 12,5 cent.
zu b)
Die Standardabweichung ist definiert als Wurzel der Varianz, also [mm] $\sigma (X)=\sqrt{\mbox{var}(X)}$. [/mm] Und die Varianz ist [mm] $\mbox{var}(X)=E(X^2)-(E(X))^2$. [/mm] (Es gibt noch andere Formeln, aber diese ist wohl am leichtesten zu berechnen.) Wir müssen also noch [mm] $E(X^2)$ [/mm] berechnen:
[mm] $E(X_1^2)=2^2*\frac{1}{8}+1^2*\frac{3}{8}+(-1)^2*\frac{3}{8}+(-3)*\frac{3}{8}=\frac{19}{8}$
[/mm]
[mm] $E(X^2_2)=4^2*\frac{1}{8}+4^2*\frac{1}{8}+0^2*\frac{3}{8}+(-3)^2*\frac{3}{8}=\frac{59}{8}$
[/mm]
Jetzt ist [mm] $\sigma (X_1)=\sqrt{E(X_1^2)-(E(X_2))^2}=\sqrt{\frac{19}{8}-\left(-\frac{1}{8}\right)^2}\approx [/mm] 1,54$
[mm] $\sigma (X_2)=\sqrt{\frac{59}{8}-\left(\frac{1}{8}\right)^2}\approx [/mm] 2,72$
Die Standardabweichung ist ein Maß dafür, wie weit die einzelnen Werte typischerweise vom Erwartungswert abweichen. Bei Spiel 2 ist das mehr, als bei Spiel 1.
zu c)
hmmm... Bei beiden Spielvarianten verliert man im Schnitt 12,5 cent. Bei Spiel 2 ist das Risiko (und der Spaß?) größer, denn man kann mehr gewinnen, aber auch mehr verlieren. Beim ersten Spiel gewinnt und verliert man eben weniger.
Das gilt allerdings nur, wenn man nicht oft spielt... Wenn man sehr oft spielt, verliert man bei beiden Varianten gleich viel (siehe a)
Ich hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Lieben Gruß,
Fulla
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