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Okay. Hier zwei situationen. Einmal bräuchte ich Bestätigung,dass ich doch nicht so blöd bin, wie ihr mich hier wahrscheinlich alle einschätzt und bei einer Aufgabe, die ich morgen abgeben muss bräuchte ich dringend noch Hilfe.
Die Aufgabe lautet:
Bestimme zu den Zufallsvariablen Xn, Yn, Zn bei n-fachen Münzwurf
|{Z4=1}|
Dabei ist zu sagen, dass X die längste Periode einer geworfenen Zahl ist. Also bei K.Kopf Z:Zahl und folgender Situation KKZZZ ist X=3, das Z 3*/hintereinander vorhkommt.
Y ist die Anzahl der Wechsel+1 also bei dem Beispiel 1 Wechsel+1 also Z=2
Z ist die Anzahl der längsten Perioden. Hier also Z=1, wenn aber ZZKKZZ, dann wäre Z=3!
Mein Ergebnis für die erste Aufgabe ist: |{Z4=1}|=12
die zweite Aufgabe: P({Y5=3})..mein ERgebnis:= 3/8
Nur5 die letzte Aufgabe bereite mir ernsthafte Sorgen: gesucht: P({X10grössergleich 3})
Mein Ansatz ist, dass es ja 210=1024 Möglichkeiten gibt. uber die Menge aller Teilmengen muss ich nun irgendeine Möglichkeit finden relativ einfach auf die Lösung zu kommen. Aber wie, ich kann doch nicht 1024 Möglichkeiten Aufschreiben. Bitte um eilende Hilfe.
Viele Dank! Euer Björn
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:20 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi!
> Okay. Hier zwei situationen. Einmal bräuchte ich
> Bestätigung,dass ich doch nicht so blöd bin, wie ihr mich
> hier wahrscheinlich alle einschätzt und bei einer Aufgabe,
Siehe meine Bemerkung zu deiner letzten Frage, die ich beantwortet habe. Deine Antwort war doch richtig!
> die ich morgen abgeben muss bräuchte ich dringend noch
> Hilfe.
> Die Aufgabe lautet:
> Bestimme zu den Zufallsvariablen Xn,
> Yn, Zn bei n-fachen Münzwurf
>
> |{Z4=1}|
Das ist jetzt aber Z4=1, oder?
> Dabei ist zu sagen, dass X die längste Periode einer
> geworfenen Zahl ist. Also bei K.Kopf Z:Zahl und folgender
> Situation KKZZZ ist X=3, das Z 3*/hintereinander
> vorhkommt.
> Y ist die Anzahl der Wechsel+1 also bei dem Beispiel 1
> Wechsel+1 also Z=2
> Z ist die Anzahl der längsten Perioden. Hier also Z=1,
> wenn aber ZZKKZZ, dann wäre Z=3!
Okay, wir haben also einen vierfachen Münzwurf, und folgende 16 Kombinationen:
KKKK Z=1
KKKZ Z=1
KKZK Z=1
KKZZ Z=2
KZKK Z=1
KZKZ Z=4
KZZK Z=1
KZZZ Z=1
ZKKK Z=1
ZKKZ Z=1
ZKZK Z=4
ZKZZ Z=1
ZZKK Z=2
ZZKZ Z=1
ZZZK Z=1
ZZZZ Z=1
> Mein Ergebnis für die erste Aufgabe ist: |{Z4=1}|=12
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> die zweite Aufgabe: P({Y5=3})..mein ERgebnis:= 3/8
Ich notiere die Wechsel:
KKKKK 0
KKKKZ 1
KKKZK 2
KKKZZ 1
KKZKK 2
KKZKZ 3
KKZZK 2
KKZZZ 1
KZKKK 2
KZKKZ 3
KZKZK 4
KZKZZ 3
KZZKK 2
KZZKZ 3
KZZZK 2
KZZZZ 1
ZKKKK 1
ZKKKZ 2
ZKKZK 3
ZKKZZ 2
ZKZKK 3
ZKZKZ 4
ZKZZK 3
ZKZZZ 2
ZZKKK 1
ZZKKZ 2
ZZKZK 3
ZZKZZ 2
ZZZKK 1
ZZZKZ 2
ZZZZK 1
ZZZZZ 0
Das sind 12 Kombinationen mit einem 2-Wechsel, also [mm] $P(\{Y_5=3\})=\bruch{12}{32}=\bruch{3}{8}$.
[/mm]
, well done. Du bist tatsächlich nicht blöd, wie ich ja auch gedacht hatte 
> Nur5 die letzte Aufgabe bereite mir ernsthafte Sorgen:
> gesucht: P({X10grössergleich 3})
> Mein Ansatz ist, dass es ja 210=1024
> Möglichkeiten gibt. uber die Menge aller Teilmengen muss
> ich nun irgendeine Möglichkeit finden relativ einfach auf
> die Lösung zu kommen. Aber wie, ich kann doch nicht 1024
> Möglichkeiten Aufschreiben. Bitte um eilende Hilfe.
Das ist in der Tat kniffelig, wegen der fortgeschrittenen Zeit poste ("sende" ) ich diese Antwort schon mal und machen mir dann Gedanken über diesen letzten Teil.
Viele Grüße,
Marc
> Viele Dank! Euer Björn
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:53 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo phymastudi,
> Nur5 die letzte Aufgabe bereite mir ernsthafte Sorgen:
> gesucht: P({X10grössergleich 3})
> Mein Ansatz ist, dass es ja 210=1024
> Möglichkeiten gibt. uber die Menge aller Teilmengen muss
> ich nun irgendeine Möglichkeit finden relativ einfach auf
> die Lösung zu kommen. Aber wie, ich kann doch nicht 1024
> Möglichkeiten Aufschreiben. Bitte um eilende Hilfe.
Ich fürchte, hier muß ich passen. Ich kann dir aber noch meine Gedanken dazu mitteilen, vielleicht kann man sie ja doch auf einfache Art und Weise fortführen.
Die 10er-Tupel von Ks und Zs sind überschaubarer, wenn man das Gegenereignis von [mm] $\{X_{10}\ge 3\}$ [/mm] betrachtet; dieses ist offenbar [mm] $\{X_{10}<3\}=\{X_{10}=1\}\cup \{X_{10}=2\}$.
[/mm]
Die Menge [mm] $\{X_{10}=1\}$ [/mm] ist sehr einfach aufgestellt:
[mm] $\{X_{10}=1\}=\{ZMZMZMZMZM,MZMZMZMZMZ\}$
[/mm]
Bei [mm] $\{X_{10}=2\}$ [/mm] scheitere ich aber.
Ich habe mir überlegt, dass man die Möglichkeiten aufteilen kann nach der Anzahl der Perioden längster Länge 2. Maximal gibt es davon offenbar 5, minimal 1.
Für 5 Perioden der Länge 2 gibt es 2 Möglichkeiten:
[mm] \{MMZZMMZZMM,ZZMMZZMMZZ\}
[/mm]
aber bei 4 Perioden der Länge 2 überschaue ich die Anzahlen nicht mehr, und das auch noch mit der Aussicht, dass ich 3 Perioden der Länge 2 gar nicht überblicken kann.
Deine Betrachtungsweise der Situation mit Teilmengen einer 10-elementigen Menge bringt mich da auch nicht weiter.
Vielleicht hat jemand anderes hier eine Idee?
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Björn
ich bin leider auch bisher gnadenlos an dem Kombinatorik-Problem gescheitert.
Daher bleibt nichts, als für [mm] $X_{10}$ [/mm] alle Möglichkeiten aufzuzählen:
1) Es kommt genau einmal $MM$ und keinmal $ZZ$ vor
Dann gibt es $9$ Möglichkeiten.
2) Es kommt genau einmal $ZZ$ und keinmal $MM$ vor
Analog: $9$ Möglichkeiteb.
3) Es kommt genau zweimal $ZZ$ und keinmal $MM$ vor
ZZMZZMZMZM
ZZMZMZZMZM
ZZMZMZMZZM
MZZMZZMZMZ
MZZMZMZZMZ
MZZMZMZMZZ
MZMZZMZZMZ
MZMZZMZMZZ
MZMZMZZMZZ
ZMZZMZZMZM
ZMZZMZMZZM
ZMZMZZMZZM
12 Möglichkeiten
4) Es kommt genau zweimal $MM$ und keinmal $ZZ$ vor
Analog: 12 Möglichkeiten
5) Es kommt genau einmal $MM$ und einmal $ZZ$ vor
MMZZMZMZMZ
MMZMZZMZMZ
MMZMZMZZMZ
MMZMZMZMZZ
ZMMZZMZMZM
ZMMZMZZMZM
ZMMZMZMZZM
MZMMZZMZMZ
MZMMZMZZMZ
MZMMZMZMZZ
ZMZMMZZMZM
ZMZMMZMZZM
MZMZMMZZMZ
MZMZMMZMZZ
ZMZMZMMZZM
MZMZMZMMZZ
16 Möglichkeiten und das gleich, wo zuerst $ZZ$ auftaucht, also
32 Möglichkeiten
5) Es kommt genau zweimal $MM$ und einmal $ZZ$ vor
MMZMMZZMZM
MMZMMZMZZM
MMZZMMZMZM
MMZZMZMMZM
MMZZMZMZMM
MMZMZMMZZM
MMZMZMZZMM
MMZMZZMMZM
MMZMZZMZMM
ZMMZMMZZMZ
ZMMZMMZMZZ
ZMMZZMMZMZ
ZMMZZMZMMZ
ZMMZMZZMMZ
ZMMZMZMMZZ
MZMMZMMZZM
MZMMZMZZMM
MZMMZZMMZM
MZMMZZMZMM
MZMZMMZZMM
MZMZZMMZMM
ZMZMMZMMZZ
ZMZZMMZMMZ
ZMZMMZZMMZ
ZZMMZMMZMZ
ZZMMZMZMMZ
ZZMZMMZMMZ
MZZMMZMMZM
MZZMMZMZMM
MZZMZMMZMM
30 Möglichkeiten
6) Es kommt genau zweimal $ZZ$ und einmal $MM$ vor
analog: 30 Möglichkeiten
7) Es kommt genau zweimal $ZZ$ und zweimal $MM$ vor
MMZMMZZMZZ
MMZZMMZZMZ
MMZZMZMMZZ
MMZZMZZMMZ
MMZMZZMMZZ
MMZZMMZMZZ
ZZMZZMMZMM
ZZMMZZMMZM
ZZMMZZMZMM
ZZMMZMZZMM
ZZMZMMZZMM
ZZMMZMMZZM
ZMZZMMZZMM
MZMMZZMMZZ
MZZMMZZMMZ
ZMMZZMMZZM
ZMMZZMZZMM
MZZMMZMMZZ
18 Möglichkeiten
8) Es kommt genau dreimal $MM$ und keinmal $ZZ$ vor
MMZMMZMMZM
MMZMZMMZMM
ZMMZMMZMMZ
MZMMZMMZMM
4 Möglichkeiten
9) Es kommt genau dreimal $ZZ$ und keinmal $MM$ vor
analog: 4 Möglichkeiten
10) Es kommt genau dreimal $MM$ und genau einmal $ZZ$ vor
MMZMMZMMZZ
MMZMMZZMMZ
MMZZMMZMMZ
ZMMZZMMZMM
ZMMZMMZZMM
ZZMMZMMZMM
6 Möglichkeiten
11) Es kommt genau dreimal $ZZ$ und genau einmal $MM$ vor
analog: 6 Möglichkeiten
12) Es kommt genau dreimal $ZZ$ und genau zweimal $MM$ vor
1 Möglichkeit
13) Es kommt genau dreimal $MM$ und genau zweimal $ZZ$ vor
1 Möglichkeit
Daher gilt:
[mm] $P(X_{10}=2)= \frac{9+9+12+12+32+30 +30+18+4+4+6+6 +1+1}{1024} [/mm] = [mm] \frac{176}{1024}$.
[/mm]
Daher gilt:
[mm]P(X_{10}\ge 3) = 1 - P(X_{10} = 1) - P(X_{10}=2) = 1 - \frac{2}{1024} - \frac{176}{1024} = \frac{846}{1024}[/mm].
Ein peinlicher Versuch.
Ich hoffe nur, dass man anhand der Zahlen eine (noch zu findende) "schöne" Lösung wenigstens überprüfen kann.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Fr 14.05.2004 | | Autor: | phymastudi |
Hall Julius, Hallo MArc.
Erstmal vielen Dank für eure Mühen. Ich hab jetzt das Ergebnis vom Prof:
Richtig ist 846/1024!
P(X10=1)= 2/1024
P(X10=2]=176/1024
Dennoch vielen DanK. Ich hab die Aufgabe verstanden und das ist das aller wichtigste. Wünsche euch ein schönes Wochenende!!!
Gruß Björn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:58 Sa 15.05.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber Björn,
ich habe die restlichen Fälle jetzt noch gefunden und meinen Beitrag oben verbessert.
Aber was war denn jetzt der Witz der Aufgabe? Sollte man das wirklich so auszählen wie ich oben oder gab es eine elegantere Lösung (mit kombinatorischen Überlegungen)? Kannst du den Prof mal fragen, wenn du es noch nicht getan hast?
Bitte teile uns die elegante Lösung und den Sinn dieser Aufgabe noch mit. Ich habe $6$ Stunden an dieser Aufgabe gesessen, da möchte ich jetzt aber auch wissen, wie man sie (anders als ich oben) lösen sollte.
Liebe Grüße
Julius
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