Multiple-choice, Ringe, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:32 Di 10.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Hi,
ich habe einen multiple-choice Test bearbeitet und würde gerne bei einigen Fragen die nähere Begründung kennen oder prüfen ob mein Gedanke richtig war.
1. Der Ring [mm] $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ [/mm] ist ein Hauptidealbereich.
Dies ist falsch. Nun würde ich aber auch gerne wissen warum dies falsch ist.
Wie sehen die Ideale in [mm] $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ [/mm] denn aus?
Die Ideale in [mm] $\mathbb{Z}$ [/mm] sind ja von der Form [mm] $k\mathbb{Z}$ [/mm] für [mm] $k\in\mathbb{N}$. [/mm]
Sind die Ideale in [mm] $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ [/mm] dann von der Form:
[mm] $m\mathbb{Z}\times n\mathbb{Z}$, [/mm] wobei m und n nicht notwendigerweise gleich sein müssen.
Um ein Hauptideal zu sein muss ja jedes dieser Ideale von einem Element erzeugt werden, also Hauptideal sein.
2. Sei R ein kommutativer Ring. Jeder Ringhomomorphismus [mm] $\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to [/mm] R$ ist injektiv.
Dies ist richtig, ich weiß jedoch nicht warum. Ich weiß nur das ein Ringhomorphismus zwischen Körpern stets injektiv ist.
Etwa ein Ringhomomorphismus [mm] $\varphi: \mathbb{Q}(\sqrt{2})\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ [/mm] wäre injektiv?
Wie könnte so ein Homomorphismus aussehen?
Ich finde das eigenartig, weil die letztere Menge nur 6 Elemente enthält und erste unendlich viele...
3. Sei [mm] $R\neq \{0\}$ [/mm] ein kommutativer Ring. Wenn [mm] $(0)\subseteq [/mm] R$ ein Primideal ist, dann ist R ein Integritätsbereich.
Dies ist richtig. Die Begründung sollte einfach daran liegen, dass nur in Integritätsbereichen dies gelten muss. Denn etwa in [mm] $\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}$ [/mm] ist $2, [mm] 3\neq [/mm] 0$, aber [mm] $2\cdot [/mm] 3=0$, also [mm] $2\cdot 3\in [/mm] (0)$ was der Definition eines Primideals widerspricht.
Dies sollte sogar äquivalent sein.
Wäre jedenfalls für diese Richtung der Gedanke korrekt und müsste für den Beweis nur noch formaler hingeschrieben werden?
4. Sei R ein kommutativer Ring und [mm] $r\in R-\{0\}$ [/mm] ein Nullteiler. Dann gilt [mm] $r\notin R^{\ast}$.
[/mm]
Dies ist richtig.
Ich habe den Beweis durch Widerspruch geführt.
Angenommen r wäre eine Einheit, dann gibt es ein [mm] $a\neq 0\in [/mm] R$ für das gilt
ar=0 weil r eine Einheit ist, ist es invertierbar, also folgt
a=0 Widerspruch.
Wäre das korrekt.
5. Sei [mm] $K\subset [/mm] L$ Körpererweiterung und [mm] $u_1, u_2\in [/mm] L-K$. Wenn gilt [mm] $[K(u_1, u_2):K]=p$ [/mm] für eine Primzahl p, dann ist [mm] $[K(u_1):K]=[K(u_2):K]$
[/mm]
Dies soll richtig sein. Ich hätte gedacht, dass dann etwa
[mm] $[K(u_1):K]=p$ [/mm] und [mm] $[K(u_2):K]=1$ [/mm] oder umgekehrt gelten muss.
Warum ist dies nicht der Fall. Lässt sich das einfach begründen, also das es plausibel ist?
Es gilt doch etwa, dass wenn [mm] $[\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=2$ [/mm] und [mm] $[\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}]=3$, [/mm] dann ist [mm] $[\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}]=6$
[/mm]
Warum gilt dies nicht für Primzahlen?
6. Das Ideal [mm] $\mathbb{Z}\times\{0\}\subseteq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ [/mm] ist maximal.
Wie kann man sowas sich am besten klar machen.
Die Aussage ist falsch.
7. Das Ideal [mm] $\mathbb{Z}\times\{0\}\subseteq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$ [/mm] ist ein Primideal.
Die Aussage ist richtig. Auch hier die Frage wie man sich sowas am besten klar macht, wenn man multiple choice Fragen hat.
8. Sei [mm] $K\subseteq [/mm] L$ eine Körpererweiterung mit [mm] $u\in [/mm] L-K$ und [mm] $u^n\in [/mm] K$.
Dann ist $[K(u):K]=n$
Ich war erstaunt als ich gesehen habe, dass dies falsch ist. Ich war von richtig ausgegangen. Hat jemand vielleicht gerade ein Gegenbeispiel parat?
9. Die Anzahl der Einheiten in [mm] $\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}$ [/mm] ist gleich ... .
Die Zahl war hier zu ergänzen. Ich hatte 60 gedacht und dies ist richtig.
Meine Begründung wäre folgende:
[mm] $\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}$
[/mm]
Die Einheiten davon sind leicht bestimmt, da beides Körper sind gibt es 6 und 10 Einheiten und in [mm] $\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}$ [/mm] muss es dann 60 Einheiten geben, dachte ich.
Ansonsten musste man überlegen wie viele Zahlen es in [mm] $\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}$ [/mm] die man multiplizieren kann um auf ein Vielfaches von 77 zu kommen.
Dies wäre aber sehr aufwändig.
Geht meine Begründung in Ordnung?
Wenn ihr auf diese Frage antwortet, dann müsst ihr nicht alle Fragen sehr ausführlich beantworten, oder auch nicht alle beantworten. Mir reichen auch kurze plausible Begründungen.
Vielen Dank im voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 Di 10.02.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich habe einen multiple-choice Test bearbeitet und würde
> gerne bei einigen Fragen die nähere Begründung kennen
> oder prüfen ob mein Gedanke richtig war.
>
> 1. Der Ring [mm]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/mm] ist ein
> Hauptidealbereich.
>
> Dies ist falsch. Nun würde ich aber auch gerne wissen
> warum dies falsch ist.
>
> Wie sehen die Ideale in [mm]\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/mm] denn
> aus?
Ideale in $R [mm] \times [/mm] S$ (mit $R$, $S$ Ringen mit Eins) haben immer die Form $I [mm] \times [/mm] J$ mit $I$ Ideal in $R$ und $J$ Ideal in $S$.
Bei dieser Aufgabe gibt's aber eine wesentlich einfachere Lösung: [mm] $\IZ \times \IZ$ [/mm] ist kein Bereich, da es Nullteiler gibt. Damit ist es auch kein Hauptidealbereich.
> 2. Sei R ein kommutativer Ring. Jeder Ringhomomorphismus
> [mm]\mathbb{Q}(\sqrt{2})\to R[/mm] ist injektiv.
Die Aussage ist falsch: ist $R$ der Nullring, so gibt es einen solchen Ringhomomorphismus und dieser ist nicht injektiv. Wenn man allerdings den Nullring nicht als kommutativen Ring akzeptiert, dann stimmt die Aussage.
> Dies ist richtig, ich weiß jedoch nicht warum. Ich weiß
> nur das ein Ringhomorphismus zwischen Körpern stets
> injektiv ist.
>
> Etwa ein Ringhomomorphismus [mm]\varphi: \mathbb{Q}(\sqrt{2})\to\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/mm]
> wäre injektiv?
Wenn es so einen geben würde, dann ja. Gibt es aber nicht.
Sei $K = [mm] \IQ(\sqrt{2})$. [/mm] Wenn [mm] $\varphi [/mm] : K [mm] \to [/mm] R$ ein Ringhomomorphismus ist, was kannst du über [mm] $\ker \varphi$ [/mm] aussagen?
> 3. Sei [mm]R\neq \{0\}[/mm] ein kommutativer Ring. Wenn [mm](0)\subseteq R[/mm]
> ein Primideal ist, dann ist R ein Integritätsbereich.
>
> Dies ist richtig.
Ja.
> Die Begründung sollte einfach daran
> liegen, dass nur in Integritätsbereichen dies gelten muss.
> Denn etwa in [mm]\mathbb{Z}/6\mathbb{Z}[/mm] ist [mm]2, 3\neq 0[/mm], aber
> [mm]2\cdot 3=0[/mm], also [mm]2\cdot 3\in (0)[/mm] was der Definition eines
> Primideals widerspricht.
> Dies sollte sogar äquivalent sein.
Ja. Schreib das doch mal formal hin. Was bedeutet es, dass
a) $R$ nullteilerfrei ist?
b) das Ideal [mm] $\{ 0 \}$ [/mm] ein Primideal ist?
> 4. Sei R ein kommutativer Ring und [mm]r\in R-\{0\}[/mm] ein
> Nullteiler. Dann gilt [mm]r\notin R^{\ast}[/mm].
>
> Dies ist richtig.
> Ich habe den Beweis durch Widerspruch geführt.
>
> Angenommen r wäre eine Einheit, dann gibt es ein [mm]a\neq 0\in R[/mm]
> für das gilt
> ar=0 weil r eine Einheit ist, ist es invertierbar, also
> folgt
> a=0 Widerspruch.
>
> Wäre das korrekt.
Ja.
> 5. Sei [mm]K\subset L[/mm] Körpererweiterung und [mm]u_1, u_2\in L-K[/mm].
> Wenn gilt [mm][K(u_1, u_2):K]=p[/mm] für eine Primzahl p, dann ist
> [mm][K(u_1):K]=[K(u_2):K][/mm]
Und insbesondere ist dies gleich $p$, und weiterhin gilt [mm] $K(u_1) [/mm] = [mm] K(u_2) [/mm] = [mm] K(u_1, u_2)$.
[/mm]
> Dies soll richtig sein. Ich hätte gedacht, dass dann etwa
>
> [mm][K(u_1):K]=p[/mm] und [mm][K(u_2):K]=1[/mm] oder umgekehrt gelten muss.
>
> Warum ist dies nicht der Fall. Lässt sich das einfach
> begründen, also das es plausibel ist?
Ja. Wenn [mm] $[K(u_2) [/mm] : K] = 1$ ist, dann muss [mm] $K(u_2) [/mm] = K$ sein. Aber was sagt das über [mm] $u_2$ [/mm] aus...?
> Es gilt doch etwa, dass wenn [mm][\mathbb{Q}(a):\mathbb{Q}]=2[/mm]
> und [mm][\mathbb{Q}(b):\mathbb{Q}]=3[/mm], dann ist
> [mm][\mathbb{Q}(a,b):\mathbb{Q}]=6[/mm]
Ja.
> Warum gilt dies nicht für Primzahlen?
Wieso sollte das nicht für Primzahlen gelten?
> 6. Das Ideal [mm]\mathbb{Z}\times\{0\}\subseteq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/mm]
> ist maximal.
>
> Wie kann man sowas sich am besten klar machen.
> Die Aussage ist falsch.
Verwende $(R [mm] \times [/mm] S) / (I [mm] \times [/mm] J) [mm] \cong [/mm] (R/I) [mm] \times [/mm] (S/J)$. Wie muss [mm] $(\IZ\times\IZ)/(\IZ \times \{0\})$ [/mm] aussehen, wenn das Ideal maximal ist?
> 7. Das Ideal [mm]\mathbb{Z}\times\{0\}\subseteq \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}[/mm]
> ist ein Primideal.
>
> Die Aussage ist richtig. Auch hier die Frage wie man sich
> sowas am besten klar macht, wenn man multiple choice Fragen
> hat.
Genauso wie bei 6: untersuche den Restklassenring.
> 8. Sei [mm]K\subseteq L[/mm] eine Körpererweiterung mit [mm]u\in L-K[/mm]
> und [mm]u^n\in K[/mm].
> Dann ist [mm][K(u):K]=n[/mm]
>
> Ich war erstaunt als ich gesehen habe, dass dies falsch
> ist. Ich war von richtig ausgegangen. Hat jemand vielleicht
> gerade ein Gegenbeispiel parat?
Sei $K = [mm] \IR$, [/mm] $L = [mm] \IC$, [/mm] $u = [mm] \sqrt{-1}$, [/mm] und $n = 2198743189521987140$. Dann gilt [mm] $u^n \in \IR$ [/mm] (da $n$ gerade ist), aber der Grad [mm] $[\IC:\IR]$ [/mm] ist immernoch 2 und nicht $n$.
> 9. Die Anzahl der Einheiten in [mm]\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}[/mm] ist
> gleich ... .
>
> Die Zahl war hier zu ergänzen. Ich hatte 60 gedacht und
> dies ist richtig.
> Meine Begründung wäre folgende:
>
> [mm]\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}\cong\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}/11\mathbb{Z}[/mm]
>
> Die Einheiten davon sind leicht bestimmt, da beides Körper
> sind gibt es 6 und 10 Einheiten und in
> [mm]\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}[/mm] muss es dann 60 Einheiten geben,
> dachte ich.
Genau.
> Ansonsten musste man überlegen wie viele Zahlen es in
> [mm]\mathbb{Z}/77\mathbb{Z}[/mm] die man multiplizieren kann um auf
> ein Vielfaches von 77 zu kommen.
> Dies wäre aber sehr aufwändig.
Ja, das ist hier auch nicht zu empfehlen.
> Geht meine Begründung in Ordnung?
Ja.
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:42 Di 10.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Was sind denn die Nullteiler in [mm] $\IZ\times\IZ$?
[/mm]
Die "Null" wäre hier ja das Tupel (0,0) und Nullteiler wären dann etwa (1,0) und (0,2) die sind von Null verschieden, aber wenn man sie multipliziert ergibt es Null.
Also die Nullteiler sind hier von der Form [mm] $(z_1,0)$ [/mm] wobei [mm] $z\neq [/mm] 0$ eine ganze Zahl ist.
Und eben [mm] $(0,z_2)$
[/mm]
zu 6)
Wenn [mm] $\IZ\times\{0\}$ [/mm] ein maximales Ideal wäre, dann müsste [mm] $(\IZ\times\IZ)/(\IZ\times\{0\})$ [/mm] ein Körper sein. Es fehlen aber im allgemeinen Inverse bezüglich Multiplikation.
zu 7)
Kann ich vielleicht auch so argumentieren:
[mm] $R=\IZ\times\IZ$ [/mm] und [mm] $I=\IZ\times\{0\}$.
[/mm]
Sei [mm] $a,b\in [/mm] R$ und [mm] $ab\in [/mm] I$, mit [mm] $a=(a_1,a_2)$ [/mm] und [mm] $b=(b_1,b_2)$.
[/mm]
Da [mm] $ab=(a_1b_1,a_2b_2)\in [/mm] I$ ist [mm] $(a_1b_1,a_2b_2)=(a_1b_1,0)$
[/mm]
Da [mm] $a_1,a_2,b_1,b_2\in\IZ$ [/mm] Integritätsbereich, ist wegen [mm] $a_2b_2=0$ [/mm] bereits [mm] $a_2=0$ [/mm] oder [mm] $b_2=0$. [/mm]
Also ist [mm] $a\in [/mm] I$ oder [mm] $b\in [/mm] I$ und somit [mm] $\IZ\times\{0\}$ [/mm] ein Primideal.
Wäre das auch richtig?
|
|
|
| |
|
> Was sind denn die Nullteiler in [mm]\IZ\times\IZ[/mm]?
>
> Die "Null" wäre hier ja das Tupel (0,0) und Nullteiler
> wären dann etwa (1,0) und (0,2) die sind von Null
> verschieden, aber wenn man sie multipliziert ergibt es
> Null.
>
> Also die Nullteiler sind hier von der Form [mm](z_1,0)[/mm] wobei
> [mm]z\neq 0[/mm] eine ganze Zahl ist.
> Und eben [mm](0,z_2)[/mm]
Ja.
> zu 6)
>
> Wenn [mm]\IZ\times\{0\}[/mm] ein maximales Ideal wäre, dann müsste
> [mm](\IZ\times\IZ)/(\IZ\times\{0\})[/mm] ein Körper sein. Es fehlen
> aber im allgemeinen Inverse bezüglich Multiplikation.
Gib doch einmal einen Ring an, den du sehr gut kennst, der isomorph zu [mm] $(\IZ\times\IZ)/(\IZ\times\{0\})$ [/mm] ist. Dann siehst du ja direkt, ob dieser ein Körper ist, bzw. für die nächste Aufgabe ein Integritätsbereich.
> zu 7)
>
> Kann ich vielleicht auch so argumentieren:
>
> [mm]R=\IZ\times\IZ[/mm] und [mm]I=\IZ\times\{0\}[/mm].
>
> Sei [mm]a,b\in R[/mm] und [mm]ab\in I[/mm], mit [mm]a=(a_1,a_2)[/mm] und [mm]b=(b_1,b_2)[/mm].
>
> Da [mm]ab=(a_1b_1,a_2b_2)\in I[/mm] ist [mm](a_1b_1,a_2b_2)=(a_1b_1,0)[/mm]
> Da [mm]a_1,a_2,b_1,b_2\in\IZ[/mm] Integritätsbereich, ist wegen
> [mm]a_2b_2=0[/mm] bereits [mm]a_2=0[/mm] oder [mm]b_2=0[/mm].
>
> Also ist [mm]a\in I[/mm] oder [mm]b\in I[/mm] und somit [mm]\IZ\times\{0\}[/mm] ein
> Primideal.
>
> Wäre das auch richtig?
Ja, das wäre auch richtig. Aber man sollte dennoch "sehen", welcher Ring [mm] $(\IZ\times\IZ)/(\IZ\times [/mm] 0)$ ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:48 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
> Aber man sollte dennoch
> "sehen", welcher Ring [mm](\IZ\times\IZ)/(\IZ\times 0)[/mm] ist.
Ist [mm] $(\IZ\times\IZ)/(\IZ\times 0)\cong \IZ$?
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:00 Mi 11.02.2015 | | Autor: | MacMath |
> > Aber man sollte dennoch
> > "sehen", welcher Ring [mm](\IZ\times\IZ)/(\IZ\times 0)[/mm] ist.
>
> Ist [mm](\IZ\times\IZ)/(\IZ\times 0)\cong \IZ[/mm]?
Si!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Entschuldigung, ich spreche kein französisch...
Ok, und warum ist das so?
[mm] $\IZ\times\IZ\cong\IZ$ [/mm] und [mm] $\IZ\times 0\cong [/mm] 0$ also "insgesamt" isomorph zu [mm] $\IZ$
[/mm]
?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:14 Mi 11.02.2015 | | Autor: | Teufel |
Das war kein Französisch. ;) Noch etwas weiter westlicher.
Ja, im Prinzip liegt es daran, aber man muss natürlich wissen, warum man so rechnen darf.
EDIT: Natürlich muss es dann aber [mm] \IZ/\IZ\cong0 [/mm] und [mm] \IZ/0\cong\IZ [/mm] heißen. Aber ich sehe gerade, dass du das gar nicht meintest. Siehe dann weiter unten für einen mögliche Lösungsweg.
Ansonsten hilft der Homomorphiesatz bei so etwas immer ganz gut.
Guck dir mal [mm] $\pi_2: \IZ\times \IZ \rightarrow \IZ,\; (a,b)\mapsto [/mm] b$, also die Projektion auf die zweite Komponente an. Was ist Bild und Kern von [mm] \pi_2? [/mm] Dann Homomorphiesatz.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
> EDIT: Natürlich muss es dann aber [mm]\IZ/\IZ\cong0[/mm] und
> [mm]\IZ/0\cong\IZ[/mm] heißen. Aber ich sehe gerade, dass du das
> gar nicht meintest
Ja doch, das war nur ein dämlicher vertipper...
Es wurde ja bereits genannt, dass
[mm] $(R\times S)/(I\times J)\cong (R/I)\times [/mm] (S/J)$
Also [mm] $(\IZ/\IZ)\cong \IZ$ [/mm] und [mm] $(\IZ/0)=0$ [/mm] und dann [mm] $\IZ\times 0\cong \IZ$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:20 Mi 11.02.2015 | | Autor: | MacMath |
"Ich verrechne mich, dann verrechne ich mich nochmal, dass passt es wieder"
trifft hier ganz genau zu. Warum?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:40 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Also der Weg von Teufel mit dem Homomorphiesatz ist mir klar.
Die vogeschlagene Abbildung ist offensichtlich ein surjektiver Homomorphismus und der Kern ist [mm] $\IZ\times\{0\}$. [/mm] Also ist
[mm] $\IZ/\{0\}\cong \IZ$.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Fr 13.02.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Mi 11.02.2015 | | Autor: | MacMath |
"Oui" wäre französisch ;)
"Si" ist spanisch.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:46 Mi 11.02.2015 | | Autor: | YuSul |
Das sollte ein Scherz sein. Ich hatte Spanisch in der Schule, war aber nicht sonderlich gut...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:58 Mi 11.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> "Oui" wäre französisch ;)
> "Si" ist spanisch.
... und wie sagt man in Italien ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:06 Mi 11.02.2015 | | Autor: | DieAcht |
> "Si" ist spanisch.
Eso es harina de otro costal. Con acento por favor! "Sí" es corecto.
|
|
|
| |
|
> [mm]\IZ\times\IZ\cong\IZ[/mm] und [mm]\IZ\times 0\cong 0[/mm] also
> "insgesamt" isomorph zu [mm]\IZ[/mm]
Nein!! Denke doch einen Moment nach, bevor du solche Vermutungen aufstellst. Und wenn du nach einem Moment des Nachdenkens bei einer Vermutung bleibst, teile bitte mit, welche Indizien deiner Meinung nach für diese oder jene Vermutung sprechen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
