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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:27 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Hallo,
wir müssen bei einer Aufgabe einer 6-elementige Gruppe eine Multiplikationstafel vervollständigen:
(leider kann man keine Screenshots/Bilder posten, dshalb wirds bestimmt schwer zu lesen sein >.<).
|*| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
|1| |5| |4| |6| |1| |3| |2|
|2| |6| |1| |5| |2| |4| |3|
|3| |2| |6| |4| |3| |1| |5|
|4| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
|5| |4| |3| |2| |5| |6| |1|
|6| |3| |5| |1| |6| |2| |4|
So, das ist meine Lösung, wobei
Blau = Einträge die vorgegeben waren
Grün = Einträge die man wegen dem neutralem Element ergänzen konnte
(Annmerkung: vor jeder Zahl steht eigtl. noch ein "g", was ich aber weggelassen habe).
Den Rest der Tabelle wurde uns gesagt, kann man durch "Sudoku" Regeln ausfüllen, was ich dann auch getan habe. In jeder zeile und jeder Spalte darf jedes Element ja nur 1x vorkommen, das ist in meiner Tabelle erfüllt.
Mein Problem ist aber, dass ich es mit anderen Leuten verglichen habe und wir verschiedene Tabelle haben, kann das sein? Sind dann mehrer Lösungen möglich?
LG, Hanz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mi 19.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> wir müssen bei einer Aufgabe einer 6-elementige Gruppe
> eine Multiplikationstafel vervollständigen:
>
> (leider kann man keine Screenshots/Bilder posten, dshalb
> wirds bestimmt schwer zu lesen sein >.<).
>
> |*| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
> |1| |5| |4| |6| |1| |3| |2|
> |2| |6| |1| |5| |2| |4| |3|
> |3| |2| |6| |4| |3| |1| |5|
> |4| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
> |5| |4| |3| |2| |5| |6| |1|
> |6| |3| |5| |1| |6| |2| |4|
>
>
> So, das ist meine Lösung, wobei
> Blau = Einträge die vorgegeben waren
> Grün = Einträge die man wegen dem neutralem Element
> ergänzen konnte
> (Annmerkung: vor jeder Zahl steht eigtl. noch ein "g", was
> ich aber weggelassen habe).
>
> Den Rest der Tabelle wurde uns gesagt, kann man durch
> "Sudoku" Regeln ausfüllen, was ich dann auch getan habe. In
> jeder zeile und jeder Spalte darf jedes Element ja nur 1x
> vorkommen, das ist in meiner Tabelle erfüllt.
>
> Mein Problem ist aber, dass ich es mit anderen Leuten
> verglichen habe und wir verschiedene Tabelle haben, kann
> das sein? Sind dann mehrer Lösungen möglich?
Daß es mehrere Lösungen gibt, will ich erstmal nicht ausschließen, aber deine ist falsch. Bei dir steht das neutrale Element 3mal auf der Hauptdiagonalen, das kann bei einer Gruppe der Ordnung 6 nicht sein. Hast du auch das Assoziativgesetz berücksichtigt? Gruppentafeln sind nicht ganz wie Sudoku.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Das Problem ist ja uns wurde nur gesagt, "den Rest kann man nach Sudoku ausfüllen"... aber du sagst ja, es sei falsch weil das neutrale Element 3 mal auf der Hauptdiagonalen vorkommt.
Aber 2-mal war es von vornherein so angegeben (von der Aufgabenstellung her) und das 3. Mal kommt es vom neutralen Element g4, oder irre ich mich, dass g4 mein neutrales Element in der Tafel darstellt?
Aber da gilt g2 * g4 = g2 => g4 ist neutrales Element..., daher lassen sich die neutralen Elemente doch gar net auf der Hauptdiagonalen vermeiden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:15 Mi 19.11.2008 | | Autor: | statler |
> Das Problem ist ja uns wurde nur gesagt, "den Rest kann man
> nach Sudoku ausfüllen"... aber du sagst ja, es sei falsch
> weil das neutrale Element 3 mal auf der Hauptdiagonalen
> vorkommt.
>
> Aber 2-mal war es von vornherein so angegeben (von der
> Aufgabenstellung her) und das 3. Mal kommt es vom neutralen
> Element g4, oder irre ich mich, dass g4 mein neutrales
> Element in der Tafel darstellt?
>
> Aber da gilt g2 * g4 = g2 => g4 ist neutrales Element...,
> daher lassen sich die neutralen Elemente doch gar net auf
> der Hauptdiagonalen vermeiden.
Das ist völlig richtig! Die Gruppe, die entsteht, muß zur S3 isomorph sein (wenn du die kennst), und die hat 4 selbstinverse Elemente, nämlich die Identität und die 3 Spiegelungen.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hanz |
> Das ist völlig richtig! Die Gruppe, die entsteht, muß zur
> S3 isomorph sein (wenn du die kennst), und die hat 4
> selbstinverse Elemente, nämlich die Identität und die 3
> Spiegelungen.
>
> Gruß
> Dieter
>
Das heißt aber dennoch, dass meine Tabelle falsch ist, oder?
Uhm ehrlich zu sein sagen mir die meisten Ausdrücke die du benutzt hast noch nichts...
Heißt "4 selbsinverse Elemente", dass g4 quasi 4-Mal auf der Hauptdiagonalen auftauchen muss?
Ist die "Identität" etwa meine grün markierte Zeile/Spalte?
Und unter "Spiegelungen" und "isomorph zu S3" sagt mir eigtl. nix >.<
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:42 Mi 19.11.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Das heißt aber dennoch, dass meine Tabelle falsch ist,
> oder?
Ja, leider.
> Uhm ehrlich zu sein sagen mir die meisten Ausdrücke die du
> benutzt hast noch nichts...
>
> Heißt "4 selbsinverse Elemente", dass g4 quasi 4-Mal auf
> der Hauptdiagonalen auftauchen muss?
Genau!
> Ist die "Identität" etwa meine grün markierte
> Zeile/Spalte?
Ja.
> Und unter "Spiegelungen" und "isomorph zu S3" sagt mir
> eigtl. nix >.<
Die S3 kannst du dir vorstellen als Symmetriegruppe eines gleichseitigen Dreiecks mit der Verknüpfung 'hintereinanderausführen'. Die Identität läßt das Dreieck in Ruhe, dann gibt es 3 Spiegelungen an den Höhen, wenn man die hintereinander ausführt, hat man die Identität, und dann gibt es noch 2 Drehungen um 120 und 240°. Wenn du jetzt deine Bezeichnungen [mm] g_i [/mm] diesen Abbildungen geeignet zuordnest, kriegst du deine Tabelle.
Als Hilfe:
[mm] g_4 [/mm] muß die Identität sein, [mm] g_3 [/mm] und [mm] g_6 [/mm] müssen Spiegelungen sein, [mm] g_3 \circ g_6 [/mm] = [mm] g_5 [/mm] muß eine Drehung sein und [mm] g_1 [/mm] wegen [mm] g_1 \circ g_1 [/mm] = [mm] g_5 [/mm] die andere Drehung.
Bis zum nächsten Mal
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:14 Mi 19.11.2008 | | Autor: | Hanz |
Aber so ist es doch ganz am Anfang richtig ausgefüllt, oder?
|*| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
|1| |5| |x| |x| |1| |x| |x|
|2| |x| |x| |x| |2| |x| |x|
|3| |x| |x| |4| |3| |x| |5|
|4| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
|5| |4| |x| |x| |5| |x| |x|
|6| |x| |x| |x| |6| |x| |4|
Könntest du mir evtl. noch ein Beispiel geben, was rauskommt wenn ich z.B. g3 * g2 = ? rechnen würde?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 Mi 19.11.2008 | | Autor: | statler |
> Aber so ist es doch ganz am Anfang richtig ausgefüllt,
> oder?
>
> |*| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
> |1| |5| |x| |x| |1| |x| |x|
> |2| |x| |x| |x| |2| |x| |x|
> |3| |x| |x| |4| |3| |x| |5|
> |4| |1| |2| |3| |4| |5| |6|
> |5| |4| |x| |x| |5| |x| |x|
> |6| |x| |x| |x| |6| |x| |4|
>
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> Könntest du mir evtl. noch ein Beispiel geben, was
> rauskommt wenn ich z.B. g3 * g2 = ? rechnen würde?
g3 * g2 ist 3. Zeile u. 2. Spalte OK? Da beides Spiegelungen sind, muß es eine Drehung ergeben, also g1 oder g5. g5 ist in der 3. Zeile schon vergeben, also g1.
Dieter
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