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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - NST
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NST: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:39 Do 05.02.2009
Autor: Englein89

Hallo,

ich habe die Funktion gegeben

[mm] f(x,y)=x^2-xy [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] 2x^2-2xy+y^2 \le [/mm] 1

Ich habe bereits die stationären Punkt im Inneren bestimmt (dabei achte ich ja zunächst nicht auf die Nebenbedingung; schreibe ich dann trotzdem die Nebenbedingung irgendwie dazu?),
will aber jetzt auf dem Rand schauen, also mit Lagrange.

Dazu habe ich ja die Nebenbedingung umgeformt zu:

[mm] 2x^2-2xy+y^2-1=0 [/mm] und setze das nun "in" f ein, also:

[mm] x^2-xy+\lambda (2x^2-2xy+y^2-1) [/mm] richtig?

Nun die partiellen Ableitungen:
nach x: 2x-y+ [mm] \lambda4x -2\lambda [/mm] y=0
das kann ich umformen zu [mm] (1+2\lambda)(2x-y)=0 [/mm]

nach y: -x-2 [mm] \lambda [/mm] x+2 [mm] \lambda [/mm] y

nach [mm] \lambda [/mm] bleibt ja nur die Nebenbedingung stehen

Sind soweit denn die Ableitungen richtig?

Denn nun weiß ich nicht genau, wie ich an alle Nullstellen komme.

Ich habe aus:
[mm] (1+2\lambda)(2x-y)=0: \lambda=-1/2 [/mm] oder y=2x

Nun habe ich das [mm] \lambda [/mm] in die Ableitung nach y eingesetzt und bekomme: y=0

Nun habe ich noch y=2x in die Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] eingesetzt und bekomme: +/- [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm]

Aber wie komme ich nun noch an weitere NST. Irgendwie habe ich den Überblick verloren.

        
Bezug
NST: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:54 Do 05.02.2009
Autor: abakus


> Hallo,
>  
> ich habe die Funktion gegeben
>  
> [mm]f(x,y)=x^2-xy[/mm] unter der Nebenbedingung [mm]2x^2-2xy+y^2 \le[/mm] 1
>  

Hallo,
ich habe von diesem Lagrange-Kram keine Ahnung. Allerdings weiß ich , dass ein Produkt Null ist, wenn...
Und [mm] x^2-xy [/mm] lässt sich als Produkt schreiben, nämlich als x(x-y).
Das ist Null
- für x= 0 und y beliebig im erlaubten Gebiet
- für x=y, wenn beide im erlaubten Gebiet sind.

Gruß Abakus


> Ich habe bereits die stationären Punkt im Inneren bestimmt
> (dabei achte ich ja zunächst nicht auf die Nebenbedingung;
> schreibe ich dann trotzdem die Nebenbedingung irgendwie
> dazu?),
> will aber jetzt auf dem Rand schauen, also mit Lagrange.
>  
> Dazu habe ich ja die Nebenbedingung umgeformt zu:
>  
> [mm]2x^2-2xy+y^2-1=0[/mm] und setze das nun "in" f ein, also:
>  
> [mm]x^2-xy+\lambda (2x^2-2xy+y^2-1)[/mm] richtig?
>  
> Nun die partiellen Ableitungen:
>  nach x: 2x-y+ [mm]\lambda4x -2\lambda[/mm] y=0
>  das kann ich umformen zu [mm](1+2\lambda)(2x-y)=0[/mm]
>  
> nach y: -x-2 [mm]\lambda[/mm] x+2 [mm]\lambda[/mm] y
>  
> nach [mm]\lambda[/mm] bleibt ja nur die Nebenbedingung stehen
>  
> Sind soweit denn die Ableitungen richtig?
>  
> Denn nun weiß ich nicht genau, wie ich an alle Nullstellen
> komme.
>  
> Ich habe aus:
> [mm](1+2\lambda)(2x-y)=0: \lambda=-1/2[/mm] oder y=2x
>  
> Nun habe ich das [mm]\lambda[/mm] in die Ableitung nach y eingesetzt
> und bekomme: y=0
>  
> Nun habe ich noch y=2x in die Ableitung nach [mm]\lambda[/mm]
> eingesetzt und bekomme: +/- [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>  
> Aber wie komme ich nun noch an weitere NST. Irgendwie habe
> ich den Überblick verloren.


Bezug
                
Bezug
NST: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:02 Do 05.02.2009
Autor: Englein89


> Hallo,
>  ich habe von diesem Lagrange-Kram keine Ahnung. Allerdings
> weiß ich , dass ein Produkt Null ist, wenn...
>  Und [mm]x^2-xy[/mm] lässt sich als Produkt schreiben, nämlich als
> x(x-y).
>  Das ist Null
>  - für x= 0 und y beliebig im erlaubten Gebiet
> - für x=y, wenn beide im erlaubten Gebiet sind.
>  

Aber das habe ich doch bereits gemacht. Ich weiß nur nicht, wo ich nun was einsetzen muss um weitere NST zu finden.

Bezug
                        
Bezug
NST: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:23 Do 05.02.2009
Autor: MathePower

Hallo Englein89,

>
> > Hallo,
>  >  ich habe von diesem Lagrange-Kram keine Ahnung.
> Allerdings
> > weiß ich , dass ein Produkt Null ist, wenn...
>  >  Und [mm]x^2-xy[/mm] lässt sich als Produkt schreiben, nämlich
> als
> > x(x-y).
>  >  Das ist Null
>  >  - für x= 0 und y beliebig im erlaubten Gebiet
> > - für x=y, wenn beide im erlaubten Gebiet sind.
>  >  
> Aber das habe ich doch bereits gemacht. Ich weiß nur nicht,
> wo ich nun was einsetzen muss um weitere NST zu finden.


Den Fall [mm]1+2\lambda=0[/mm] hast Du ja schon behandelt.

Jetzt muß noch der Fall [mm]y=2x[/mm] untersucht werden.

Setze [mm]y=2x[/mm] in die Nebenbedingung ein,
und Du erhältst dann die möglichen x-Werte.

Dies setzt Du nun in die verbleibende Gleichung ein
und erhältst dann die Werte für [mm]\lambda[/mm].

Du kannst Dir hier das Leben etwas leichter machen,
in dem Du auch hier [mm]y=2x[/mm] setzt.


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
NST: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:38 Do 05.02.2009
Autor: Englein89


> Den Fall [mm]1+2\lambda=0[/mm] hast Du ja schon behandelt.

Ja, hier habe ich [mm] \lambda=-0,5 [/mm]

>  
> Jetzt muß noch der Fall [mm]y=2x[/mm] untersucht werden.
>  
> Setze [mm]y=2x[/mm] in die Nebenbedingung ein,
> und Du erhältst dann die möglichen x-Werte.

Habe ich auch bereits: [mm] x=+/-\bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm]

>  
> Dies setzt Du nun in die verbleibende Gleichung ein
> und erhältst dann die Werte für [mm]\lambda[/mm].

[mm] \lambda [/mm] habe ich doch oben bereits? Welche verbleibende Gleichung meinst du?

>  
> Du kannst Dir hier das Leben etwas leichter machen,
> in dem Du auch hier [mm]y=2x[/mm] setzt.

>

Bezug
                                        
Bezug
NST: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:01 Do 05.02.2009
Autor: MathePower

Hallo Englein89,

>
> > Den Fall [mm]1+2\lambda=0[/mm] hast Du ja schon behandelt.
>  Ja, hier habe ich [mm]\lambda=-0,5[/mm]
>  >  
> > Jetzt muß noch der Fall [mm]y=2x[/mm] untersucht werden.
>  >  
> > Setze [mm]y=2x[/mm] in die Nebenbedingung ein,
> > und Du erhältst dann die möglichen x-Werte.
>  
> Habe ich auch bereits: [mm]x=+/-\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm]
>  >  
> > Dies setzt Du nun in die verbleibende Gleichung ein
> > und erhältst dann die Werte für [mm]\lambda[/mm].
>  
> [mm]\lambda[/mm] habe ich doch oben bereits? Welche verbleibende
> Gleichung meinst du?


Die verbleibende Gleichung ist die partielle Ableitung nach y.

Und daraus bekommst Du ein anderes [mm]\lambda[/mm], als Du bereits schon hast.


>  >  
> > Du kannst Dir hier das Leben etwas leichter machen,
> > in dem Du auch hier [mm]y=2x[/mm] setzt.
>  >


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
NST: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 Do 05.02.2009
Autor: Englein89

Ich habe das Ergebnis gerade selber gefunden. Danke sehr!
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