NS von x^2 - 5 in Q ? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 So 26.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich gehe gerade ein Prüfungsprotokoll durch und bin auf die folgende Frage gestoßen.
Frage :
Hat das Polynom [mm] x^2 - 5 [/mm] in [mm] \mathbb Q [/mm] eine Nullstelle ?
Ich weiß nicht genau, wie ich an diese Frage herangehen soll. Ich würde ganz einfach [mm] x^2 = 5 [/mm] anschauen und würde die Frage mit nein beantworten. Aber das ist wahrscheinlich nicht das, was erwünscht wird... nehme ich an. In den Übungen haben wir solche Aufgabenstellungen leider nicht gehabt und deswegen kann ich mir da keine Anregung holen.
Ich hoffe, dass mit jemand behilflich sein kann.
Vielen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:51 So 26.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
wenn es um Nullstellen in [mm] \IQ [/mm] geht, kann man wunderbar den sogenannten Irrationalitätsatz verwenden:
Sei [mm] p(x)=\summe_{i=1}^{n}a_{i}X^{i} \in\IZ[X], [/mm] also ein Polynom mit Koeffizienten aus [mm] \IZ. [/mm] P sei außerdem normiert [mm] (a_{n}=1)
[/mm]
Ist x eine Nullstelle aus [mm] \IQ, [/mm] so ist [mm] x\in \IZ [/mm] und x ist ein Teiler von [mm] a_{0}.
[/mm]
Gemäß dem Satz kommen nur Teiler von 5, also 1,-1,5,-5, als Nullstellen von f(x)=X²-5 in Frage. Durch Einsetzen findet man aber [mm] f(x)\not= [/mm] 0 für alle [mm] x\in{1,-1,5,-5}. [/mm] f hat somit keine Nullstellen in [mm] \IQ.
[/mm]
Gruß
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 So 26.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Wir hatte leider diesen Satz absolut nicht in der Vorlesung... Dennoch möchte ich das verstehen und habe zu der Antwort folgende Fragen:
> wenn es um Nullstellen in [mm]\IQ[/mm] geht, kann man wunderbar den
> sogenannten Irrationalitätsatz verwenden:
>
> Sei [mm]p(x)=\summe_{i=1}^{n}a_{i}X^{i} \in\IZ[X],[/mm] also ein
> Polynom mit Koeffizienten aus [mm]\IZ.[/mm] P sei außerdem normiert
> [mm](a_{n}=1)[/mm]
> Ist x eine Nullstelle aus [mm]\IQ,[/mm] so ist [mm]x\in \IZ[/mm] und x ist
> ein Teiler von [mm]a_{0}.[/mm]
Das ist mir gerade nicht ganz klar :-(. Warum folgt, dass wenn x eine Nullstelle aus [mm]\IQ,[/mm] ist, dass [mm]x\in \IZ[/mm] und x Teiler von [mm]a_{0}.[/mm] ?
>
> Gemäß dem Satz kommen nur Teiler von 5, also 1,-1,5,-5, als
> Nullstellen von f(x)=X²-5 in Frage. Durch Einsetzen findet
> man aber [mm]f(x)\not=[/mm] 0 für alle [mm]x\in{1,-1,5,-5}.[/mm] f hat somit
> keine Nullstellen in [mm]\IQ.[/mm]
Da ich den Satz nicht kenne, muss ich fragen, warum nur Teiler von 5 in Frage kommen als Nullstellen..
Ginge denn vielleicht ein Beispiel mit dem Einsetzen? Vielleicht versteh ich es dann?
Vielen Dank!
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:30 So 26.10.2008 | | Autor: | Fry |
Also wenn du wissen willst, warum das so ist, müsste ich den zahlentheoretischen Beweis hier reinstellen. Ist nur die Frage, ob das was bringt. Wenn du willst, kann ich ihn aber mal rausschreiben.
Wenn ich ein normiertes Polynom mit Koeffizienten aus [mm] \IZ [/mm] habe z.B. [mm] x^{7}+450 x^{6}+8300x^{5}+37*x^{3}+5000*x+4, [/mm] dann sagt der Satz:
(1) Wenn das Polynom eine Nullstelle in [mm] \IQ [/mm] hat, dann ist diese Nullstelle eine ganze Zahl ! und
(2)Es ist egal, welche für Koeffizienten vor den Potenzen von x stehen. Die Nullstellen sind auf jeden Fall Teiler des konstanten Gliedes [mm] a_{0}, [/mm] also in diesem Fall 4.
Und welche Teiler hat 4 ? Natürlich nur 1.-1,2,-2,4,-4 !
Dies sind also alle möglichen Nullstellen aus [mm] \IQ. [/mm] Jetzt kann man natürlich leicht überprüfen, ob sie wirklich welche sind, in dem man sie in das Polynom einsetzt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 So 26.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
Also, wenn ich das jetzt richtig verstanden habe, dann betrachte ich die Teiler von [mm] a_0 [/mm] , in meiner Frage die von 5. Und diese setze ich dann einfach ein, und sehe natürlich, dass keine davon die Gleichung erfüllen... , richtig?
Ziemlich einfach eigentlich  ...
Recht herzlichen Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:39 So 26.10.2008 | | Autor: | Fry |
Ganz genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") !
VG :)
Christian
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 So 26.10.2008 | | Autor: | Fry |
In welchem Thema wirst du denn geprüft ? Zahlentheorie ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 So 26.10.2008 | | Autor: | Irmchen |
In Zahlentheorie - Hauptsächlich in Krypthgraphie-
Leider ist die Vorlesung nicht die Beste und es gibt nur ein Prüfungsprotokoll ... :-(.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:49 So 02.11.2008 | | Autor: | Irmchen |
Guten Morgen!
Ich kenne das Ergebnis dieser Frage, dennoch stellt sich mir eine andere Frage dazu.... Und zwar, kann man mit der folgenden Thematik ( Reziprozitätsgesetz & Restsymbol ) diese Aufgabe auch lösen...
In der Vorlesung steht unter der Uberschrift " Anwengung des Reziprozitätsgesetzes " :
(*) Sei q eine feste ungerade Primzahl, dann ist [mm] x^2 - q [/mm] irreduzibel über [mm] \mathbb Q [/mm].
Es gilt:
[mm] M_q ^+ = \{ p \ ungerade \ Primzahlen \ | \ x^2 - q \in \mathbb F_p \left[x \right] \ hat \ 2 \ verschiedene \ Linearfaktoren \} [/mm]
[mm] M_q ^- = \{ p \ ungerade \ Primzahlen \ | \ x^2 - q \in \mathbb F_p \left[x \right] \ irreduzibel \} [/mm]
So,die Prüfungsfrage lautet ja:
Hat [mm] x^2 - 5 [/mm] Nullstellen in [mm] \mathbb Q [/mm].
Da q = 5 eine feste un´gerade Primzahl, kann ich doch nach (*) die Frage sofort mit Nein beantworten, da ich weiß, dass das Polynom irreduzibel ist.
Richtig?
Vieln Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:57 So 02.11.2008 | | Autor: | statler |
Guten Morgen!
> Ich kenne das Ergebnis dieser Frage, dennoch stellt sich
> mir eine andere Frage dazu.... Und zwar, kann man mit der
> folgenden Thematik ( Reziprozitätsgesetz & Restsymbol )
> diese Aufgabe auch lösen...
>
> In der Vorlesung steht unter der Uberschrift " Anwendung
> des Reziprozitätsgesetzes " :
>
> (*) Sei q eine feste ungerade Primzahl, dann ist [mm]x^2 - q[/mm]
> irreduzibel über [mm]\mathbb Q [/mm].
> Es gilt:
>
> [mm]M_q ^+ = \{ p \ ungerade \ Primzahlen \ | \ x^2 - q \in \mathbb F_p \left[x \right] \ hat \ 2 \ verschiedene \ Linearfaktoren \}[/mm]
>
> [mm]M_q ^- = \{ p \ ungerade \ Primzahlen \ | \ x^2 - q \in \mathbb F_p \left[x \right] \ irreduzibel \}[/mm]
>
> So,die Prüfungsfrage lautet ja:
>
> Hat [mm]x^2 - 5[/mm] Nullstellen in [mm]\mathbb Q [/mm].
> Da q = 5 eine
> feste un´gerade Primzahl, kann ich doch nach (*) die Frage
> sofort mit Nein beantworten, da ich weiß, dass das Polynom
> irreduzibel ist.
> Richtig?
Ja, aber da schießt du doch mit ganz ganz dicken Kanonen auf sehr sehr kleine Spatzen.
Gruß aus Harburg
Dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:55 So 02.11.2008 | | Autor: | Irmchen |
Morgen!
Das kann gut sein, aber da diese Frage im Kontext zu den Fragen zum Reziprozitätsgesetzt auftaucht, muss ich auch ne Möglichkeit suchen wie ich das mit Hilfe des Gesetzes beantworten kann....
Viele Dank!
Viele Grüße
Irmchen
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