NV und Dreiecksfläche < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich hätt da mal eine Verständnisfrage:
[mm] \overrightarrow{AB}x\overrightarrow{AC}=\vec{n} [/mm] (Vektorprodukt) sei mal Normalenvektor der Ebene, die durch A, B, und C definert it.
wieso ist denn 1/2 [mm] *|\vec{n}| [/mm] die Fläche des Dreiecks?
Mein Problem ist, wieso ist eine Fläche, dasselbe wie eine Länge (Der Betrag eines Vektors gibt ja seine Länge an)?
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo
Die Vektoren AB und AC spannen ein Parallelogramm mit dem Flächeninhalt |n|(also dem betrag des kreuzprdukt von AB und AC) auf.
Ein Dreick ist ein "halbes" Parallelogramm. also ist die Fläche des Dreicks
1/2*|n|. Das ist einfach so definiert.
Man kann das ganze auch noch anders schreiben:
da für den Flächeninhalt des Parallelogrammes A=a*b*sin alpha gilt, gilt auch entsprechend:
|a|*|b|*sin phi (phi ist der von a und b eingeschlossene Winkel)
und für das Dreieck:1/2*|a|*|b|*sin phi
Gruß
R. Kleiner
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Hallo,
meine Frage gilt hier im Prinzip den Einheiten?
Woher kann ich ableiten, dass [mm] |\vec{n}| [/mm] einmal eine Fläche [mm] (LE^2) [/mm] und zum anderen eine Strecke (LE) darstellt?
Liebe Grüße
Andreas
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| Aufgabe | Nochmal die Mitteilung als Frage... |
Hallo,
meine Frage gilt hier im Prinzip den Einheiten?
Woher kann ich ableiten, dass [mm]|\vec{n}|[/mm] einmal eine Fläche
[mm](LE^2)[/mm] und zum anderen eine Strecke (LE) darstellt?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:31 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
dass der Betrag des Kreuzproduktes zweier Vektoren der Flächeninhalt des von ihnen aufgespannten Prallelogrammes ist, lässt sich mit Hilfe der Definition des Kreuzproduktes herleiten.
Dort hast du dann ja
|a x b|=|a|*|b|*sin [mm] \alpha
[/mm]
Hier Steckt dann ja einmal drin, dass du zwei Längen multiplizierst...also eine Fläche hast. Auf der anderen Seite ist |a x b| ja eine Länge des Vektors.
Hier ist dann denke ich die Ursache für diesen "Einheitenwiderspruch" zu finden.
Sagen wir es mal so: Der Betrag des Kreuzproduktes lässt sich als diese Fläche interpretieren, und wir sagen dann einfach, dass die Einheit eine Flächeneinheit ist.
Gruß,
Kroni
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Hallo,
tut mir Leid wenn ich nochmal frag... aber ganz hab ich da den Durchblick noch nicht...
Also der Betrag des Vektors und damit seine Länge, ist ja im Prinzip angewandter Pythagoras.... eindeutig Länge
Die Fläche des Parallelograms ist ja Fläche klar...
wie passen hier aber die Einheiten zusammen?
Vllt. hilft es mir wie man noch mal den Betrag des Kreuzproduktes als Flächenformel für Parallelogrammen herleiten kann..
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:24 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
betrachten wir einmal ein Parallelogramm:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Sieht jetzt nicht soo schön aus, aber ich denke, es reicht.
a und b seien Vektoren.
Unten Links, wo man das gekritzel sieht, sei der Winkel Alpha, den die beiden Vektoren a und b einschließen.
Dann gilt für den Flächeninhalt des Parallelogramms:
A=a*h
h lässt sich ausdrücken durch [mm] b*sin\alpha
[/mm]
In Vektorschreibweise sieht das ganze dann so aus:
[mm] A=|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin\alpha
[/mm]
Dieser Ausdruck ist eben Gleich [mm] |\vec{a}\times\vec{b}|
[/mm]
Also gilt:
[mm] A=|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin\alpha=|\vec{a}\times\vec{b}|
[/mm]
Damit hast du hergeleitet, dass der Betrag des Kreuzproduktes den Flächeninhalt des Parallelogrammes wiedergibt, welches die beiden Vektoren a und b aufspannen.
VIele Grüße,
Kroni
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo,
>
> Dieser Ausdruck ist eben Gleich [mm]|\vec{a}\times\vec{b}|[/mm]
> Also gilt:
>
> [mm]A=|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin\alpha=|\vec{a}\times\vec{b}|[/mm]
>
Wieso sind denn diese Ausdrücke gleich?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ich habe folgendes Gefunden:
The magnitude of the
cross product is de¯ned to be the area of the parallelogram shown in Figure 6.
This leads to the formula
[mm] |\vec{a}|\cdot{}|\vec{b}|\cdot{}sin\alpha=|\vec{a}\times\vec{b}| [/mm] $
Link dazu:
http://mathdl.maa.org/images/upload_library/4/vol6/Dray2/Dray.pdf
Ich würde sagen, dass das also einfach mal so ist, und so definiert wurde.
Ich weiß auch nicht mehr 100%ig genau, ob wir das damals mal hergeleitet haben, oder wie auch immer, aber es ist einfach so.
Viele Grüße,
Kroni
PS: Ich kann aber gleich nochmal rumkramen in meinen Unterlagen=)
So, habe es hier in meinen Unterlagen als Satz wiedergefunden.
Viele Grüße
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Hallo Kroni!
vielen Dank für deine Geduld.
Scheinbar kann man das nur beweisen indem man das mit [mm] a_1, a_2,a_3,b_1,b_2 [/mm] und [mm] b_3 [/mm] ausrechnet.
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo
Es gibt 2 verscheidene Interpretationen des Kreuzprduktes.
1.rechnerische interpretation.
2.Die geometrische Interpretation:
1.länge von a x b:
|a x b|=|a|*|b|*sin phi=fläche des Parallelogramms, das durch a und b aufgespannt wird.
2. richtung von von a x b:
a x b steht senkrecht zur Ebene, die durch a und b aufgespannt wird.
Das Kreuzprdukt ist einfach so definiert.
Gruß
R. Kleiner
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Hallo,
wie läuft das wenn ich das beweisen möchte?
[mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)=sin(\alpha)*\summe_{i=1}^{n}a_ib_i =|\vec{a}x\vec{b}|
[/mm]
so aber wenn ich jetzt von der anderen Seite rechne, also das Kreuzprodukt von [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] berechne, wie komme ich dann auf obiges, und wo kommt dann der [mm] sin(\alpha) [/mm] her?
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:36 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wie kommst du hier auf die Summe?
[mm] |\vec{a}| [/mm] gibt doch den Betrag des Vektors a an, ebenso wie mit dem Vektor b.
Hier multipliziert man Längen von Vektoren!
Sláin,
Kroni
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Hallo,
du hast Recht.. ich hab mich da vertan... dummer Fehler
[mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_i^2}*\wurzel{\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)
[/mm]
...aber wie mach ich jetzt bloß weiter??
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
I:[mm]|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_i^2}*\wurzel{\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)[/mm]
[mm] II:|\vec{a}x\vec{b}|=a_2b_3-a_nb_{n-1}+a_3b_4-a_1b_n+a_4b_5-a_2b_1+a_5b_6-a_3b_2+a_6b_7-a_4b_3+...+a_{n-1}b_n-a_{n-3}b_{n-4}+a_nb_1-a_{n-2}b_{n-3}+a_1b_2-a_{n-1}b_{n-2}
[/mm]
[mm] =a_1b_2+a_2b_3+a_3b_4+a_4b_5+a_5b_6+a_6b_7+...+a_{n-1}b_n+a_nb_1-a_1b_n-a_2b_1-a_3b_2-a_4b_3-...-a_{n-3}b_{n-4}-a_{n-2}b_{n-3}-a_{n-1}b_{n-2}-a_nb_{n-1}
[/mm]
1. Wie kann ich hier II. als Summe umformulieren?
2. Wie zum Teufel können I und II gleich sein?
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
die einzige Summenschrebweise, die mir einfällt ist diese...
[mm] II=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
I=II [mm] \gdw \wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
ist die richtig?
und wenn ja wie hilft mir das weite?
Liebe Grüße
Andreas
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Hallo,
das ist mein Ansatz, komme aber net weiter...
Also...
[mm] |\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)=|\vec{a}\times\vec{b}| [/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2*(sin(\alpha))^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n [/mm] mit [mm] sin(\alpha))^2=1-(cos(\alpha))^2
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2*(1-(cos(\alpha))^2)}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-(cos(\alpha))^2*\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
[mm] cos(\alpha) [/mm] benutzen wir ja auch um den Winkel zwischen 2 Vektoren wie folgt zu berechnen...
[mm] cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} \gdw (cos(\alpha))^2=\bruch{(\vec{a}*\vec{b})^2}{(|\vec{a}|*|\vec{b}|)^2}
[/mm]
es galt doch [mm] ...|\vec{a}|*|\vec{b}|=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}
[/mm]
und es gilt auch.. [mm] \vec{a}*\vec{b}=\summe_{i=1}^{n}a_ib_i
[/mm]
also... [mm] (cos(\alpha))^2=\bruch{(\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2}{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}.... [/mm] nun wird das oben eingesetzt ...
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-\bruch{(\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2}{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-(\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n
[/mm]
[mm] \gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-\summe_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n [/mm] ... nun wird das ganze quadriert
[mm] \gdw\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-\summe_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2=\summe_{i=1}^{n-1}a_i^2b_{i+1}^2+a_n^2b_1^2+\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}^2b_i+a_1^2b_n^2+2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*a_nb_1-2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*a_1b_n-2*a_nb_1*\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-2*a_nb_1a_1b_n+2*\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i*a_1b_n
[/mm]
[mm] \gdw\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-\summe_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2=\summe_{i=1}^{n-1}a_i^2b_{i+1}^2+a_n^2b_1^2+\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}^2b_i+a_1^2b_n^2-2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*(-a_nb_1+\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i)-2a_nb_1*(\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i+a_1b_n)-2a_1b_n*(\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i)
[/mm]
Die ersten 4 Terme der rechten Seite (jene die Quadrate enthalten) entsprechen der linken Seite der Gleichung.
Wr müssen nun lediglich noch zeigen, dass der Rest auf der rechten Seite in der Summe 0 ergibt.
Hier komme ich jedoch nicht weiter... kann mir da jemand helfen??
Liebe Grüße
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:30 Di 10.04.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
wenn du meine Meinung hören willst:
Rechne das doch erstmal für Vektoren aus dem [mm] \IR^{3} [/mm] aus=)
Sláin,
Kroni
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Hallo,
ich hätt aber gern den Beweis für [mm] \IR^n..
[/mm]
Liebe Grüße
Andreas
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Do 12.04.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
ich hab bereits 2 Fehler entdeckt...
ich markier sie einfach rot im Zitat..
> Hallo,
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> das ist mein Ansatz, komme aber net weiter...
>
> Also...
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> [mm]|\vec{a}|*|\vec{b}|*sin(\alpha)=|\vec{a}\times\vec{b}|[/mm]
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*sin(\alpha)=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2*(sin(\alpha))^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
> mit [mm]sin(\alpha))^2=1-(cos(\alpha))^2[/mm]
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2*(1-(cos(\alpha))^2)}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-(cos(\alpha))^2*\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
>
> [mm]cos(\alpha)[/mm] benutzen wir ja auch um den Winkel zwischen 2
> Vektoren wie folgt zu berechnen...
>
> [mm]cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|} \gdw (cos(\alpha))^2=\bruch{(\vec{a}*\vec{b})^2}{(|\vec{a}|*|\vec{b}|)^2}[/mm]
>
> es galt doch
> [mm]...|\vec{a}|*|\vec{b}|=\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}[/mm]
>
> und es gilt auch.. [mm]\vec{a}*\vec{b}=\summe_{i=1}^{n}a_ib_i[/mm]
>
> also...
> [mm](cos(\alpha))^2=\bruch{(\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2}{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}....[/mm]
> nun wird das oben eingesetzt ...
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-\bruch{(\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2}{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}*\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-(\summe_{i=1}^{n}a_ib_i)^2}=\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
>
> [mm]\gdw\wurzel{\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2- [red] \summe_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2} [/red] =\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}+a_nb_1-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-a_1b_n[/mm]
> ... nun wird das ganze quadriert ... das ist natürich falsch quadriert worden bereits
>
> [mm]\gdw\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-[red]\summe_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2[/red]=\summe_{i=1}^{n-1}a_i^2b_{i+1}^2+a_n^2b_1^2+\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}^2b_i+a_1^2b_n^2+2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*a_nb_1-2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*a_1b_n-2*a_nb_1*\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i-2*a_nb_1a_1b_n+2*\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i*a_1b_n[/mm]
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> [mm]\gdw\summe_{i=1}^{n}a_1^2*\summe_{i=1}^{n}b_i^2-[red]\summe_{i=1}^{n}a_i^2b_i^2[/red]=\summe_{i=1}^{n-1}a_i^2b_{i+1}^2+a_n^2b_1^2+\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}^2b_i+a_1^2b_n^2-2*\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}*(-a_nb_1+\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i)-2a_nb_1*(\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i+a_1b_n)-2a_1b_n*(\summe_{i=1}^{n-1}a_ib_{i+1}-\summe_{i=1}^{n-1}a_{i+1}b_i)[/mm]
>
> Die ersten 4 Terme der rechten Seite (jene die Quadrate enthalten) entsprechen der linken Seite der Gleichung. Wr müssen nun lediglich noch zeigen, dass der Rest auf der rechten Seite in der Summe 0 ergibt.
>
> Hier komme ich jedoch nicht weiter... kann mir da jemand
> helfen??
>
Liebe Grüße
Andreas
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