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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 04.11.2012 | | Autor: | colden |
| Aufgabe | Aus:
[mm]\nabla ( \vec a \cdot \vec b)=( \vec b \cdot \nabla ) \vec a + ( \vec a \cdot \nabla ) \vec b + \vec b \times ( \nabla \times \vec a) + \vec a \times (\nabla \times \vec b) [/mm]
Folgt:
[mm] \vec E ( \vec r )= \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0} \nabla ( \vec p \cdot \nabla \bruch{1}{r})[/mm]
[mm]= \bruch {1}{4 \pi \varepsilon_0} [( \vec p \cdot \nabla ) \nabla \bruch {1}{r} + \vec p \times ( \nabla \times ( \nabla \bruch {1}{r} ))] [/mm]
[mm] = \bruch {-1}{4 \pi \varepsilon_0} ( \vec p \cdot \nabla ) \bruch { \vec r}{r^{3}}=\bruch {-1}{4 \pi \varepsilon_0} \summe_i p_i \bruch { \partial }{ \partial x_i} \bruch { \vec r }{r^3} [/mm]
[mm] = \bruch {-1}{4 \pi \varepsilon_0} \summe_i p_i ( \bruch { \vec e_i }{r^3} - \bruch { 3 \vec r }{r^4} \bruch {x_i}{r} ) [/mm]
[mm] = \bruch {1}{4 \pi \varepsilon_0} [ \bruch {3( \vec r \cdot \vec p ) \vec r}{r^5}- \bruch { \vec p }{r^3}] [/mm] |
Ich lese gerade Nolting E-Dynamik und verstehe mal wieder seine Umformungen nicht. Bin auf Seite 82.
Wenn ich die oben stehende Nabla Relation auf
[mm] \nabla ( \vec p \cdot \nabla \bruch{1}{r})[/mm]
Anwende erhalte ich
[mm] = ( \nabla \bruch{1}{r} \cdot \nabla ) \vec p + ( \vec p \cdot \nabla ) \nabla \bruch {1}{r} + \nabla \bruch{1}{r} \times ( \nabla \times \vec p) + \vec p \times (\nabla \times \nabla \bruch{1}{r}) [/mm]
Ich verstehe nicht wieso es so klar sein soll, dass alle Terme bis auf den zweiten 0 ergeben. Auf Anhieb sehe ich nur dass der letzte Term gleich 0 sein muss da die Rotation eines Gradientenfeld 0 ist.
Aber wieso ist zb der dritte Term (Gradient kreuz Rotation von p) gleich 0.
Oder der erste?
Seine weitere Umformung vom zweiten Term verstehe ich auch nicht ganz ich bekomme da so etwas wie
[mm] \vec p \cdot ( \bruch {3 \vec r^2}{r^5} -\bruch {1}{r^5} ) [/mm]
Kann mir vielleicht jemand einfach mal Zeile für Zeile erklären was er da gemacht hat bzw mir vielleicht ein E-dynamik Lehrbuch empfehlen, das nicht alle Naselang 5 umformungsschritte unter den Tisch kehrt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 So 04.11.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Aus:
> [mm]\nabla ( \vec a \cdot \vec b)=( \vec b \cdot \nabla ) \vec a + ( \vec a \cdot \nabla ) \vec b + \vec b \times ( \nabla \times \vec a) + \vec a \times (\nabla \times \vec b)[/mm]
>
> Folgt:
>
> [mm]\vec E ( \vec r )= \bruch{1}{4 \pi \varepsilon_0} \nabla ( \vec p \cdot \nabla \bruch{1}{r})[/mm]
>
> [mm]= \bruch {1}{4 \pi \varepsilon_0} [( \vec p \cdot \nabla ) \nabla \bruch {1}{r} + \vec p \times ( \nabla \times ( \nabla \bruch {1}{r} ))][/mm]
>
> [mm]= \bruch {-1}{4 \pi \varepsilon_0} ( \vec p \cdot \nabla ) \bruch { \vec r}{r^{3}}=\bruch {-1}{4 \pi \varepsilon_0} \summe_i p_i \bruch { \partial }{ \partial x_i} \bruch { \vec r }{r^3}[/mm]
>
> [mm]= \bruch {-1}{4 \pi \varepsilon_0} \summe_i p_i ( \bruch { \vec e_i }{r^3} - \bruch { 3 \vec r }{r^4} \bruch {x_i}{r} )[/mm]
>
> [mm]= \bruch {1}{4 \pi \varepsilon_0} [ \bruch {3( \vec r \cdot \vec p ) \vec r}{r^5}- \bruch { \vec p }{r^3}][/mm]
>
> Ich lese gerade Nolting E-Dynamik und verstehe mal wieder
> seine Umformungen nicht. Bin auf Seite 82.
>
> Wenn ich die oben stehende Nabla Relation auf
>
> [mm]\nabla ( \vec p \cdot \nabla \bruch{1}{r})[/mm]
>
> Anwende erhalte ich
> [mm]= ( \nabla \bruch{1}{r} \cdot \nabla ) \vec p + ( \vec p \cdot \nabla ) \nabla \bruch {1}{r} + \nabla \bruch{1}{r} \times ( \nabla \times \vec p) + \vec p \times (\nabla \times \nabla \bruch{1}{r})[/mm]
>
> Ich verstehe nicht wieso es so klar sein soll, dass alle
> Terme bis auf den zweiten 0 ergeben.
Der 1. und der 3. Term enthalten Ableitungen des konstanten Vektors [mm] $\vec{p}$, [/mm] das ist 0.
> Auf Anhieb sehe ich
> nur dass der letzte Term gleich 0 sein muss da die Rotation
> eines Gradientenfeld 0 ist.
Richtig.
> Seine weitere Umformung vom zweiten Term verstehe ich auch
> nicht ganz ich bekomme da so etwas wie
>
> [mm]\vec p \cdot ( \bruch {3 \vec r^2}{r^5} -\bruch {1}{r^5} )[/mm]
Nein, denn [mm] $(\vec p*\vec\nabla)\vec [/mm] r [mm] \not= \vec{p} (\vec\nabla*\vec [/mm] r)$.
Es steht doch jeder Zwischenschritt in Komponenten ausgeschrieben da, aber hier nochmal im Detail:
[mm] ( \vec p \cdot \nabla ) \bruch { \vec r}{r^{3}} = \summe_i p_i \bruch { \partial }{ \partial x_i} \bruch { \vec r }{r^3}[/mm] ,
und mit der Produktregel ist
[mm] \bruch { \partial }{ \partial x_i} \bruch { \vec r }{r^3} = \bruch { \partial \vec r }{ \partial x_i} \bruch{1}{r^3} + \vec{r} \bruch { \partial }{ \partial x_i} \bruch{1}{r^3} = \bruch{\vec{e}_i}{r^3} + \vec{r} *\bruch{-3}{r^4} *\bruch {\partial r}{\partial x_i} = \bruch{\vec{e}_i}{r^3} + \vec{r}* \bruch{-3}{r^4} *\bruch{x_i}{r} [/mm] .
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:43 So 04.11.2012 | | Autor: | colden |
Jo danke, jetzt komm ich auch aufs richtige Ergebnis. War echt nicht so schwer
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