Nachprüfem von Diffbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:36 Mo 01.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
| Aufgabe | Sei f: [mm] \IR\to \IR, x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x>0 \end{cases}
[/mm]
Beh: f ist auf ganz [mm] \IR [/mm] unendlich oft differenzierbar und es gilt: f^(k)(0)=0 f.a. [mm] k\in [/mm] IN. |
Moin.
Leider habe ich auch mit dieser Aufgabe noch ein Problem. Habe es erst einmal versucht, die Diffbarkeit mit erst einem, dann einem anderen der mir bekannten Kriterien abzuarbeiten, bin aber nicht besonders erfolgreich dabei gewesen. Hier einer meiner Gedankengänge.
Zz. es ex. eine auf [mm] \IR [/mm] stetige fkt. u(x) mit:
[mm] f(x)-f(x_0)=u(x)(x-x_0) [/mm] f.a. [mm] x\in\IR. [/mm] [u(x) ist dann die Ableitung] Wenn ich das gezeigt bekommen würde, wäre ja f (wenigstens schonmal EINmal) in differenzierbar.
Habe mich dabei aber wiederholt verheddert. z.B.: f(x)-f(0)=u(x)(x-0), also [mm] u(x)=\bruch{f(x)}{x} [/mm] f.a. [mm] x\in \IR\{0}. [/mm] Aber was ist denn mit x=0???.... Ist irgendwie alles sehr wirr.
Tut mir leid, dass ich schon wieder um Hilfe bitte, aber Analysis ist irgendwie nicht mein Ding. Bin wie immer für jede Hilfe dankbar,
Gruß,
San
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:09 Di 02.05.2006 | | Autor: | topotyp |
Hi Susann
Die Hürde besteht doch darin zz dass die fkt 1mal diff ist im pkt 0.
d.h. zeige dass [mm] $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x}-0}{x-0}$ [/mm] existiert!
(Nach Vorgabe im Aufgabentext ist das ja $f'(0)=0$
Das kannst du mit Variablentrafo x -> 1/y und dann L'Hospital machen.
Die anderen Ableitungen (die du nur in $x=0$ untersuchen musst)
gehen bestimmt genauso. Gruss topotyp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:45 Di 02.05.2006 | | Autor: | Sanshine |
Moin!
Aaaaaalso. Im Prinzip ist mir klar, was du meinst, bis auf zwei/drei Sachen:
1.)
> d.h. zeige dass [mm]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{e^{-1/x}-0}{x-0}[/mm]
> existiert!
Schon klar, arbeite ich eben mit dem Differentialquotienten direkt. Aber ich muss doch eigentlich f(x) stehen lassen, oder? Wieso ersetzt du es einfach durch den Funktionswert von x>0 bzw. anders formuliert: warum lässt du den GRenzwert sich von "oben" der Null nähern und nicht auch von unten? Gäbe das nicht einen völlig anderen Grenzwert?
2.)Warum reicht es, die einmalige differenziebarkeit zu überprüfen?
3.)> (Nach Vorgabe im Aufgabentxt ist das ja [mm]f'(0)=0[/mm]
> Das kannst du mit Variablentrafo x -> 1/y und dann
> L'Hospital machen.
l'Hospital ist mir ein Begriff "Variablentrafo" weniger. Ich nehme an, dass du meinst, dass ich setze [mm] f(x)=g(\bruch{1}{y}) [/mm] für ein [mm] y\in \IR?> [/mm]
4.) Wie kann ich denn argumentieren, dass es reicht diese Fälle so zu untersuchen?
Ups, das waren schon wieder 4 Fragen und nicht zwei,sry
Gruß
san
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:47 Fr 05.05.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Sanshine!
> warum lässt du den GRenzwert sich von "oben" der Null nähern
> und nicht auch von unten?
> Gäbe das nicht einen völlig anderen Grenzwert?
Nein, das sollte keinen anderen Grenzwert ergeben (schließlich wäre die Funktion dann nicht differenzierbar).
Und der linksseitige Grenzwert (also "von unten") sieht doch folgendermaßen aus:
[mm]\lim_{x\rightarrow 0\uparrow}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \ = \ \lim_{x\rightarrow 0\uparrow}\frac{0-0}{x-0} \ = \ 0[/mm]
Also nicht sonderlich spannend, oder?
> l'Hospital ist mir ein Begriff "Variablentrafo" weniger.
> Ich nehme an, dass du meinst, dass ich setze
> [mm]f(x)=g(\bruch{1}{y})[/mm] für ein [mm]y\in \IR?>[/mm]
Substituiere $y \ := \ [mm] \bruch{1}{x}$ $\gdw$ [/mm] $x \ = \ [mm] \bruch{1}{y}$ [/mm] .
Damit verändert sich auch die Grenzwertbetrachtung:
[mm] $\limes_{x\rightarrow \red{0}}f(x) [/mm] \ = \ [mm] \limes_{y\rightarrow\red{\infty}}f(y)$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:16 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Moin San!
> 2.)Warum reicht es, die einmalige differenziebarkeit zu
> überprüfen?
Es reicht nicht. Die weiteren Ableitungen zu untersuchen geht aber genauso. Siehe meine andere Antwort. (Wenn das nicht so frueh am morgen waere haette ich es vielleicht auch geschafft die Antwort direkt hier hinzuschreiben :D )
> 4.) Wie kann ich denn argumentieren, dass es reicht diese
> Fälle so zu untersuchen?
Hat sich die Frage mittlerweile erledigt?
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:14 Fr 05.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo San!
> Sei f: [mm]\IR\to \IR, x\mapsto\begin{cases} 0, & \mbox{für } x\le 0 \\ e^{-\bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x>0 \end{cases}[/mm]
>
> Beh: f ist auf ganz [mm]\IR[/mm] unendlich oft differenzierbar und
> es gilt: f^(k)(0)=0 f.a. [mm]k\in[/mm] IN.
Ein Tipp zum 'unendlich oft': Zeige per Induktion, dass die $n$-te Ableitung von $f(x)$ fuer $x > 0$ durch [mm] $P_n(\frac{1}{x}) e^{-\frac{1}{x}}$ [/mm] gegeben ist, wobei [mm] $P_n \in \IR[x]$ [/mm] ein Polynom ist.
Wenn du das hast, kannst du die Grenzwertbetrachtung, die du schon fuer den Fall $n = 1$ gemacht hast (siehe den Rest des Threads) genauso fuer alle $n > 1$ machen: [mm] $\lim_{x \to 0+} \frac{P_{n-1}(\frac{1}{x}) e^{-\frac{1}{x}}}{x} [/mm] = [mm] \lim_{x \to 0+} \frac{\frac{1}{x} P_{n-1}(\frac{1}{x})}{e^{\frac{1}{x}}} [/mm] = [mm] \lim_{y\to+\infty} \frac{y P_{n-1}(y)}{e^y}$. [/mm] Und jetzt oft genug L'Hopital anwenden.
LG Felix
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