Nachweis: Menge ist "Gebiet" < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Mengen sind Gebiete?
a) [mm] \{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}
[/mm]
b) [mm] \{z\in\IC: |z^{2}-1| <3|\} [/mm] |
Hallo!
Ich habe Probleme, für die Aufgabe oben überhaupt einen Ansatz zu finden.
Ein Gebiet soll ja eine offene, zusammenhängende Teilmenge des [mm] \IC [/mm] sein.
Eine Menge heißt zusammenhängend, wenn es nicht möglich ist, sie in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen.
Wie könnte ich denn nun an die Aufgabe rangehen? Oder gibt es einfachere Möglichkeiten, zu zeigen, dass die Mengen Gebiete sind?
Bei der ersten hab ich mir das mal zeichnen lassen, es handelt sich also um zwei getrennte Kreis um [mm] (\sqrt{3},0) [/mm] und [mm] (-\sqrt{3},0)).
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die Menge ist also anschaulich zumindest nicht zusammenhängend. Wie kann ich das jetzt zeigen?
Die zweite Menge ist zumindest anschaulich zusammenhängend:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Viele Grüße, Stefan.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:33 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Stefan!
> Welche der folgenden Mengen sind Gebiete?
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> a) [mm]\{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}[/mm]
> b) [mm]\{z\in\IC: |z^{2}-1| <3|\}[/mm]
>
> Ich habe Probleme, für die Aufgabe oben überhaupt einen
> Ansatz zu finden.
>
> Ein Gebiet soll ja eine offene, zusammenhängende Teilmenge
> des [mm]\IC[/mm] sein.
>
> Eine Menge heißt zusammenhängend, wenn es nicht möglich
> ist, sie in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen
> aufzuteilen.
>
> Wie könnte ich denn nun an die Aufgabe rangehen? Oder gibt
> es einfachere Möglichkeiten, zu zeigen, dass die Mengen
> Gebiete sind?
Nunja, dass die beiden obigen Mengen offen sind ist ja ziemlich sofort klar. Problematisch ist also das zusammenhaengend.
> Bei der ersten hab ich mir das mal zeichnen lassen, es
> handelt sich also um zwei getrennte Kreis um [mm](\sqrt{3},0)[/mm]
> und [mm](-\sqrt{3},0)).[/mm]
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Die Menge ist also anschaulich zumindest nicht
> zusammenhängend. Wie kann ich das jetzt zeigen?
Hier siehst du, dass die imaginaere Achse die beiden Teile trennt. Also mach folgendes:
1) zeige, dass die imaginaere Achse nicht in der Menge liegt,
2) zeige, dass ein Punkt auf der linken Seite und ein Punkt auf der rechten Seite der imaginaeren Achse in der Menge liegt.
> Die zweite Menge ist zumindest anschaulich
> zusammenhängend:
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
Nicht nur anschaulich 
Du hast hier die Bedingung [mm] $|z^{2}-1| [/mm] <3$, was aeqiuvalent zu $|z - 1| [mm] \cdot [/mm] |z + 1| < 3$ ist.
Eine Vorgehensweise waere: schau dir zu festem Realteil [mm] $\sigma$ [/mm] an, welche Imaginaerteile [mm] $\tau$ [/mm] diese Gleichung erfuellen, also fuer welche [mm] $\tau \in \IR$ [/mm] der Punkt [mm] $\sigma [/mm] + i [mm] \tau$ [/mm] in der Menge liegt.
Du erhaelst, dass es irgendein [mm] $\sigma$ [/mm] gibt, wenn [mm] $\tau$ [/mm] in einem (offenen) Intervall liegt. Wenn du ein solches [mm] $\tau$ [/mm] fixierst, siehst du, dass alle zugehoerigen [mm] $\sigma$ [/mm] ebenfalls in einem offenen Intervall liegen (welches immer 0 enthaelt).
Damit ist die Menge wegzusammenhaengend: du kannst jeden Punkt mit 0 verbinden, indem du zuerst den kuerzesten Weg zur reellen Achse zuruecklegst (folgt daraus dass die [mm] $\sigma$ [/mm] zu einem [mm] $\tau$ [/mm] ein offenes Intervall bilden, welches 0 enthaelt) und dann auf der reellen Achse direkt zu 0 gehst (dies liegt ebenfalls in der Menge da die [mm] $\tau$ [/mm] zu denen es ueberhaupt [mm] $\sigma$ [/mm] gibt ebenfalls ein offenes Intervall bilden, welches 0 enthaelt).
Und aus wegzusammenhaengend folgt auch direkt zusammenhaengend, womit du gezeigt hast dass die Menge ein Gebiet ist.
(Fuer offene Mengen in [mm] $\IC$ [/mm] ist zusammenhaengend sein uebrigens aequivalent zu wegzusammenhaengend sein. Und wegzusammenhaengend sein laesst sich oefter mal einfacher nachweisen als zusammenhaengend sein.)
LG Felix
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Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort, Felix! Die hat mich sehr viel weiter gebracht!
Also wär a) dann so zu lösen(?):
Sei [mm] $z\in\{i*a:a\in\IR\}$, [/mm] d.h. a befinde sich auf der imaginären Achse der Gaußschen Zahlenebene. Wegen
[mm] $|z^{2}-3| [/mm] = [mm] |(i*a)^{2}-3| [/mm] = [mm] |-a^{2}-3| [/mm] = [mm] (a^{2}+3)^{2} [/mm] > 1$
liegt somit kein Element der imaginären Achse in der Menge [mm] \{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}. [/mm] Weil aber für $z = [mm] \sqrt{3}$
[/mm]
[mm] $|z^{2}-3| [/mm] = [mm] |(\sqrt{3})^{2}-3| [/mm] = 0 < 1$
und für $z = [mm] -\sqrt{3}$ [/mm] ebenfalls
[mm] $|z^{2}-3| [/mm] = [mm] |(-\sqrt{3})^{2}-3| [/mm] = 0 < 1$
gibt es aber Elemente der Menge [mm] \{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}, [/mm] die sich im 2. und 3. Quadranten, d.h. "links" von der imaginären Achse, und "rechts" davon, im 1. und 4. Quadranten befinden. D.h die Menge [mm] \{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\} [/mm] kann in zwei disjunkte, offene Teilmengen zerlegt werden, sie ist also nicht zusammenhängend.
(Hierzu habe ich noch eine Frage: Wieso kann ich an der Menge [mm] \{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\} [/mm] sofort sehen, dass sie offen ist? Ich weiß, dass das "kleiner" eigentlich dafür verantwortlich ist, aber wenn es jetzt ja wie man im Bild sehen konnte zwei kleine Kreise sind, woher will ich dann wissen dass die auch offen sind?)
Vielen Dank für Eure Hilfe und Korrektur!
Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Vielen Dank für deine Antwort, Felix! Die hat mich sehr
> viel weiter gebracht!
> Also wär a) dann so zu lösen(?):
>
> Sei [mm]z\in\{i*a:a\in\IR\}[/mm], d.h. a befinde sich auf der
> imaginären Achse der Gaußschen Zahlenebene. Wegen
>
> [mm]|z^{2}-3| = |(i*a)^{2}-3| = |-a^{2}-3| = (a^{2}+3)^{2} > 1[/mm]
>
> liegt somit kein Element der imaginären Achse in der Menge
> [mm]\{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}.[/mm]
Genau.
> Weil aber für [mm]z = \sqrt{3}[/mm]
> [mm]|z^{2}-3| = |(\sqrt{3})^{2}-3| = 0 < 1[/mm]
>
> und für [mm]z = -\sqrt{3}[/mm] ebenfalls
>
> [mm]|z^{2}-3| = |(-\sqrt{3})^{2}-3| = 0 < 1[/mm]
>
> gibt es aber Elemente der Menge [mm]\{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\},[/mm]
> die sich im 2. und 3. Quadranten, d.h. "links" von der
> imaginären Achse, und "rechts" davon, im 1. und 4.
> Quadranten befinden. D.h die Menge [mm]\{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}[/mm]
> kann in zwei disjunkte, offene Teilmengen zerlegt werden,
> sie ist also nicht zusammenhängend.
Genau.
> (Hierzu habe ich noch eine Frage: Wieso kann ich an der
> Menge [mm]\{z\in\IC:|z^{2}-3| < 1\}[/mm] sofort sehen, dass sie
> offen ist? Ich weiß, dass das "kleiner" eigentlich dafür
> verantwortlich ist, aber wenn es jetzt ja wie man im Bild
> sehen konnte zwei kleine Kreise sind, woher will ich dann
> wissen dass die auch offen sind?)
Ja, das "kleiner" ist dafuer verantwortlich. Es reicht ja zu zeigen, dass das Komplement abgeschlossen ist. Dazu nimmst du dir eine konvergente Folge, die komplett im Komplement liegt, und zeigst dass der Grenzwert ebenfalls im Komplement liegt. Etwa [mm] $a_n \to [/mm] a$ mit [mm] $a_n \not\in [/mm] M := [mm] \{ z \in \IC \mid |z^2 - 3| < 1 \}$.
[/mm]
Nun gilt [mm] $|a_n^2 [/mm] - 3| [mm] \ge [/mm] 1$ fuer alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] und da Quadrieren, addieren und Betrag nehmen stetig sind folgt [mm] $\lim_{n\to\infty} |a_n^2 [/mm] - 3| = [mm] |a^2 [/mm] - 3|$. Da [mm] $|a_n^2 [/mm] - 3|$ eine konvergente Folge in der abgeschlossenen Teilmenge $[1, [mm] \infty)$ [/mm] von [mm] $\IR$ [/mm] ist, liegt auch der Grenzwert da drinnen, es gilt also [mm] $|a^2 [/mm] - 3| [mm] \ge [/mm] 1$, womit $a [mm] \not\in [/mm] M$ ist.
LG Felix
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Ok, vielen Dank Felix!
Grüße, Stefan.
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Hallo!
> Eine Vorgehensweise waere: schau dir zu festem Realteil
> [mm]\sigma[/mm] an, welche Imaginaerteile [mm]\tau[/mm] diese Gleichung
> erfuellen, also fuer welche [mm]\tau \in \IR[/mm] der Punkt [mm]\sigma + i \tau[/mm]
> in der Menge liegt.
Also wähle ich jetzt $z= [mm] \sigma+i*\tau$ [/mm] bei festem [mm] \sigma [/mm] :
[mm] $|z^{2}-1| [/mm] = |z-1|*|z+1|= [mm] |\sigma+i*\tau$-1|*|\sigma+i*\tau$+1| [/mm] = [mm] |(\sigma-1)+ i*\tau|*|(\sigma+1)+ i*\tau|$
[/mm]
[mm] $=((\sigma-1)^{2}+ \tau^{2})*((\sigma+1)^{2}+\tau^{2})< [/mm] 3$
> Du erhaelst, dass es irgendein [mm]\sigma[/mm] gibt, wenn [mm]\tau[/mm] in
> einem (offenen) Intervall liegt.
Hier (siehe obige Gleichung / Ungleichung) wage ich aber noch nichts zu sehen, in der Form dass irgendein [mm] \tau [/mm] die Gleichung erfüllt. Was muss ich nun noch machen?
> Wenn du ein solches [mm]\tau[/mm]
> fixierst, siehst du, dass alle zugehoerigen [mm]\sigma[/mm]
> ebenfalls in einem offenen Intervall liegen (welches immer
> 0 enthaelt).
Ist das ein neues Tau oder das Tau, das ich oben erhalte?
Vielen Dank für die Erklärung, das Vorgehen, was wir damit erreichen wollen, habe ich auf jeden Fall verstanden!
Viele Grüße, Stefan.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:08 Sa 02.05.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Eine Vorgehensweise waere: schau dir zu festem Realteil
> > [mm]\sigma[/mm] an, welche Imaginaerteile [mm]\tau[/mm] diese Gleichung
> > erfuellen, also fuer welche [mm]\tau \in \IR[/mm] der Punkt [mm]\sigma + i \tau[/mm]
> > in der Menge liegt.
>
> Also wähle ich jetzt [mm]z= \sigma+i*\tau[/mm] bei festem [mm]\sigma[/mm] :
>
> [mm]|z^{2}-1| = |z-1|*|z+1|= |\sigma+i*\tau[/mm][mm] -1|*|\sigma+i*\tau[/mm]
> [mm]+1| = |(\sigma-1)+ i*\tau|*|(\sigma+1)+ i*\tau|[/mm]
>
> [mm]=((\sigma-1)^{2}+ \tau^{2})*((\sigma+1)^{2}+\tau^{2})< 3[/mm]
>
> > Du erhaelst, dass es irgendein [mm]\sigma[/mm] gibt, wenn [mm]\tau[/mm] in
> > einem (offenen) Intervall liegt.
>
> Hier (siehe obige Gleichung / Ungleichung) wage ich aber
> noch nichts zu sehen, in der Form dass irgendein [mm]\tau[/mm] die
> Gleichung erfüllt. Was muss ich nun noch machen?
Das ganze ausmultiplizieren.
Dann bekommst du eine quadratische Ungleichung in [mm] $\tau^2$ [/mm] und kannst $t = [mm] \tau^2$ [/mm] substituieren, sie auflosen, resubstitutieren, und damit weitermachen.
> > Wenn du ein solches [mm]\tau[/mm]
> > fixierst, siehst du, dass alle zugehoerigen [mm]\sigma[/mm]
> > ebenfalls in einem offenen Intervall liegen (welches immer
> > 0 enthaelt).
>
> Ist das ein neues Tau oder das Tau, das ich oben erhalte?
Du suchst nach allen [mm] $\tau$, [/mm] so dass es ein [mm] $\sigma$ [/mm] gibt so dass $z = [mm] \tau [/mm] + i [mm] \sigma$ [/mm] die Ungleichung erfuellt. Und wenn du dir dann ein solches [mm] $\tau$ [/mm] festhaelst, kannst du dir alle [mm] $\sigma$ [/mm] anschauen fuer die $z = [mm] \tau [/mm] + i [mm] \sigma$ [/mm] die Ungleichung erfuellen.
LG Felix
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Hallo und danke für deine Antwort!
Ich bin jetzt soweit gekommen, dass bei festgehaltenem [mm] $\sigma$ [/mm] das [mm] $\tau=i*(\sigma+t)$ [/mm] mit [mm] $t\in(-1,1)$. [/mm] Dann habe ich weitergemacht und das wieder in
[mm] $((\sigma-1)^{2}+\tau^{2})*((\sigma+1)^{2}+\tau^{2}) [/mm] < 3$
eingesetzt (also jetzt [mm] \tau [/mm] fest) und kam auf
[mm] $(1-t^{2})*(-4)*(\sigma^{2}+\sigma*t-\bruch{1-t^{2}}{4}) [/mm] < 3$
also
[mm] $\sigma^{2}+\sigma*t [/mm] - [mm] \bruch{1-t^{2}}{4} [/mm] > [mm] -\bruch{3}{4}*\bruch{1}{1-t^{2}}$
[/mm]
Was kann ich jetzt daraus ziehen? Mein Ziel soll ja sein, dass ich jetzt zeige dass es auf jeden Fall [mm] $\sigma [/mm] = 0$ die Gleichung erfüllt und möglichst auch ein "Weg" dorthin (zur 0)?
Vielen Dank für Eure Hilfe, Stefan.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Di 05.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mo 04.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zu b): Sei G= $ [mm] \{z\in\IC: |z^{2}-1| <3|\} [/mm] $
Beh.: G ist sternförmig mit Sternmittelpunkt 0. (Daraus folgt dann, dass G zusammenhängend ist.)
Beweis: Sei [mm] z_0 \in [/mm] G und [mm] \gamma(t) [/mm] := [mm] tz_0 [/mm] für t [mm] \in [/mm] [0,1]
Zu zeigen ist: [mm] \gamma(t) \in [/mm] G für t [mm] \in [/mm] [0,1]. Für t = 0 und t = 1 ist dies klar.
Sei 0<t<1: [mm] $|\gamma(t)^2-1| [/mm] = [mm] |t^2z_0^2-t^2+t^2-1| \le t^2|z_0^2-1|+1-t^2 [/mm] < [mm] 3t^2+1-t^2 [/mm] = [mm] 2t^2+1 [/mm] <3$
FRED
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