Nachweis Sigma-Algebren < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:14 Mo 25.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
| Aufgabe | Seien [mm] \Omega,\Omega'\not= \emptyset [/mm] und f eine Funktion von [mm] \Omega [/mm] nach [mm] \Omega'. [/mm] Sei F eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega, [/mm] F' eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega'. [/mm] Zeigen Sie:
a) [mm] F(f):=\{f^{-1}(B)|B\in F'\} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega.
[/mm]
b) [mm] G':=\{B\in F'|f^{-1}(B)\in F\} [/mm] ist eine [mm] \sigma-Algebra [/mm] in [mm] \Omega'.
[/mm]
c) Drücken Sie die Eigenschaft "f ist F-F'-messbar" einerseits mit Hilfe von F' und andererseits mit Hilfe von G'aus. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo MatheRaum-Team,
es wäre richtig klasse, wenn mir jemand bei der Aufgabe etwas Hilfestellung geben könnte. Klar ist mir, dass man jeweils die 3 Bedingungen einer [mm] \sigma-Algebra [/mm] nachprüfen muss, allerdings gibt es da etwas Probleme.
Bisher hab ich mir folgendes überlegt:
zu a)
i)Mir ist klar, dass [mm] \Omega\in [/mm] F(f)
ii) Sei nun [mm] A\in [/mm] F(f). Dann muss auch gelten [mm] A^c\in [/mm] F(f).
Es ist doch [mm] A\in F(f)\Rightarrow A=f^{-1}(B) \Longleftrightarrow B=f(A)\in [/mm] F'. Und da stockts dann auch schon. Muss ich jetz zeigen, dass auch [mm] f(A^c)\in [/mm] F' und wenn ja wie gehe ich dann weiter vor?
Ich bedanke mich schon mal im Voraus für mögliche Tipps, Lösungsvorschläge und dergleichen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Mo 25.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Hey Leute,
also ich wäre immer noch an einer Antwort interessiert und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte. Danke mal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mo 25.05.2009 | | Autor: | vivo |
Hallo,
also in deiner Menge
[mm]F(f):=\{f^{-1}(B)|B\in F'\}[/mm]
sind doch alle Urbilder von Ereignissen aus F'. Jetzt musst du zeigen, dass zu einem solchen Element (Urbild) auch das Komplement drinn ist. Was ist denn das Komplement eines solchen Urbildes, wenn du beachtest dass f [mm] \Omega [/mm] auf [mm] \Omega [/mm] ' abbildet ?
gruß
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:35 Mo 25.05.2009 | | Autor: | kegel53 |
Na ich würd sagen das Komplement eines Urbildes muss dann wieder irgendein Urbild sein. Ich hab mir das so gedacht:
Falls [mm] A^c\in [/mm] F(f) dann muss gelten [mm] A^c=f^{-1}(C) [/mm] mit einem [mm] C\in [/mm] F' [mm] \Rightarrow C=f(A^c)
[/mm]
Aber [mm] f(A^c) [/mm] kann nur in [mm] \Omega' [/mm] liegen wo denn auch sonst und damit gilt dann auch [mm] C=f(A^c)\in [/mm] F'
[mm] \Rightarrow A^c\in [/mm] F(f)
Sind die Überlegungen so richtig oder liege ich da völlig falsch?
Es wär auch klasse, wenn jemand noch an paar Worte zu c) verlieren könnte also was es mit diesem F-F'-messbar auf sich hat und wie ich das durch F' und G' ausdrücken kann. Vielen Dank!!!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 04:20 Di 26.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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