Nachweis bei einer Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimmen sie mit Nachweis alle n [mm] \in \IN, [/mm] für welche n²< 2^(n) gilt |
So, ich habe das einfach mal durchgerechnet und habe gesehen, dass es für n=2, n=3 und n=4 nicht gilt, ansonsten aber für alle meine Beispiele. Aber wie weise ich jetzt nach, dass das die einzigen Zahlen für n sind, für die das gilt?
LG
Zahlenmaus :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi,
> Bestimmen sie mit Nachweis alle n [mm]\in \IN,[/mm] für welche n²<
> 2^(n) gilt
> So, ich habe das einfach mal durchgerechnet und habe
> gesehen, dass es für n=2, n=3 und n=4 nicht gilt,
> ansonsten aber für alle meine Beispiele. Aber wie weise
> ich jetzt nach, dass das die einzigen Zahlen für n sind,
> für die das gilt?
Für [mm] n\ge5 [/mm] gilt die Aussage. Zeige das mit vollständiger Induktion.
LG
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Hey, danke erstmal, für die Antwort.
Also Induktionsanfang: n=5
=> 5² < 2^(5) = 25 < 36
Induktionsvorraussetzung ist n²<2^(n)
Aber wie mache ich jetzt den induktionsschluss?
n [mm] \to [/mm] n+1
(n+1)² < 2^(n+1)
Aber wie geht s jetzt weiter?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:05 Di 06.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Hey, danke erstmal, für die Antwort.
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> Also Induktionsanfang: n=5
>
> => 5² < 2^(5) = 25 < 36
>
> Induktionsvorraussetzung ist n²<2^(n)
>
> Aber wie mache ich jetzt den induktionsschluss?
>
> n [mm]\to[/mm] n+1
>
> (n+1)² < 2^(n+1)
>
>
> Aber wie geht s jetzt weiter?
Links binomische Formel, rechts Potenzgesetz.
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Ja, aber dann steht da ja
n²+2n+1 < 2^(n) * 2
das hilft doch nicht viel, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:17 Di 06.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Ja, aber dann steht da ja
>
> n²+2n+1 < 2^(n) * 2
>
> das hilft doch nicht viel, oder?
Doch. Wenn du jetzt noch [mm] $2^n*2$ [/mm] als [mm] $2^n+2^n$ [/mm] schreibst, enthält sowohl die linke als auch die rechte Seite jeweils einen Summanden, der schon in der Induktionsvoraussetzung steckte.
Gruß Abakus
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Ah, stimmt, okey, dake.
Aber dadurch habe ich doc noch nicht gezeigt für welche n es gilt. Weil für n=3 z.B dürfte es ja nicht gelten.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Di 06.11.2012 | | Autor: | abakus |
> Ah, stimmt, okey, dake.
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> Aber dadurch habe ich doc noch nicht gezeigt für welche n
> es gilt. Weil für n=3 z.B dürfte es ja nicht gelten.
Die paar Werte, für die es gilt, musst du "von Hand" vorrechnen. Ab n=5 beweist du, dass es keine anderen gibt.
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okey, vielen Dank 
eine letzte Frage noch:
da steht dann ja:
n²+2n+1 < 2^(n) + 2^(n)
Laut IV gilt n²<2^(n) aber muss ich jetzt nicht noch zeigen, dass 2n+1 < 2^(n) ?
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Hallo Zahlenmaus,
> da steht dann ja:
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> n²+2n+1 < 2^(n) + 2^(n)
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> Laut IV gilt n²<2^(n) aber muss ich jetzt nicht noch
> zeigen, dass 2n+1 < 2^(n) ?
Da hast Du Recht. So offensichtlich das den meisten ist (obwohl es erst ab [mm] n\ge{3} [/mm] gilt) - natürlich musst Du es zeigen.
Einfacher ist es daher m.E., vorher schon folgende Abschätzung vorzunehmen:
[mm] n^2+2n+1\blue{\le 2n^2}<2*2^n
[/mm]
Die rechte Ungleichung in dieser Kette ist schnell erledigt; das war ja die Induktionsvoraussetzung.
Bleibt also links zu zeigen:
[mm] n^2+2n+1\le 2n^2\quad\Leftrightarrow\quad 2n+1\le n^2
[/mm]
Das geht nun ganz ohne Induktion mit den Mitteln, die einem so für quadratische Ungleichungen zur Verfügung stehen, und man findet die hier relevante Lösung in [mm] \IN: n\ge{3}
[/mm]
Grüße
reverend
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