Nachweis der Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:42 Sa 16.01.2016 | | Autor: | smilow |
| Aufgabe | | Zeigen Sie aus der Definition, das die Folge [mm](a_n)_{n=0}^\infty[/mm] mit [mm]a_n= \bruch{1}{2+n^2} [/mm] konvergiert. |
Hallo,
ich soll bei der Folgenden Aufgabe die Konvergenz nachweisen,
[mm](a_n)_{n=0}^\infty[/mm] mit [mm]a_n= \bruch{1}{2+n^2} [/mm]
Das diese Folge gegen 0 konvergiert ist ja recht offensichtlich, da der Nenner im weiter wächst während der Zähler gleich bleibt.
Allerdings soll ich die Konvergenz über die Definition nachweisen, ich würde dafür die Grenzwertdefinition nutzen, da ja jede begrenzte folge auch konvergiert
Da man 0 als Grenzwert ja offensichtlich vermuten und nutzen kann lande ich dann schließlich an der Stelle:
[mm] |a_n-0|<\varepsilon[/mm] nach meinem Verständnis ist es nun möglich für jedes [mm] a_n [/mm] ein größeres Epsilion zu finden, bzw für jedes Epsilon einen Index N ab dem [mm] a_n [/mm] dementsprechend kleiner ist als mein Epsilon.
Aber wie schreibe ich das nun auf und mache das deutlich?
Die Musterlösung sagt folgendes:
Man sieht, dass [mm] \limes_{n \to \infty}a_0=0[/mm]. Es gilt [mm] 0\wurzel{max{\varepsilon^{-1}-2,0}}=N(\varepsilon)[/mm]. Damit gibt es für alle [mm]\varepsilon>0[/mm] ein [mm] N(\varepsilon)[/mm], so dass [mm] |a_n-0|<\varepsilon[/mm] für alle [mm] n>N(\varepsilon)[/mm]
So wie ich das sehe war meine Vermutung über den Grenzwert korrekt und auch die Definition war passend. Ich verstehe allerdings den Wurzelausdruck nicht ganz, bzw. sehe wo der herstammt.
[s]Was muss ich also zu meiner Lösung noch ergänzen, und wie ist der in der Musterlösung stehende Ausdruck zu interpretieren?
Sorry ich hätte 5Minuten später posten sollen, ich hab den Ausdruck mal durchgerechnet und dabei festgestellt dass, das logischerweise die "Vorgabe" ist ab welchem [mm] a_n a_n-0<\varepsilon [/mm] zutrifft.
Jetzt stellt sich mir aber die Frage wie komme ich auf diesen Ausdruck für eine beliebige Folge?
Gruß smilow
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:23 Sa 16.01.2016 | | Autor: | hippias |
![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
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> Sorry ich hätte 5Minuten später posten sollen, ich hab
> den Ausdruck mal durchgerechnet und dabei festgestellt
> dass, das logischerweise die "Vorgabe" ist ab welchem [mm]a_n a_n-0<\varepsilon[/mm]
> zutrifft.
>
> Jetzt stellt sich mir aber die Frage wie komme ich auf
> diesen Ausdruck für eine beliebige Folge?
>
>
Eine allgemeine Methode gibt es nicht. Ausser man bezeichnet den Versuch den Ausdruck [mm] $|a_{n}-a|<\varepsilon$ [/mm] nach $n$ umzustellen als solche; dies ist aber so gut wie immer hoffnungslos schwierig. Erst durch Abschätzungen und Vereinfachungen der Ungleichung wird es gelingen auf einen passenden Index zu kommen.
Übung macht den Meister!
> Gruß smilow
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Sa 16.01.2016 | | Autor: | smilow |
Das heißt es gibt auf die schnelle keine effizienten Weg, eine Vorschrift zu finden die allgemein für alle [mm] a_n [/mm] und Epsilon gilt?
Dann stellt sich natürlich die Frage ob es überhaupt nötig ist in der Klausur diese mit anzugeben, und mein Lösungansatz ist im Prinzip die komplette Lösung?
Dann wäre es es aber irgendwie merkwürdig das mit in die Musterlösung zu schreiben, zu mal ich mich auch nicht erinnern kann, dass dieses Errechnen mal Teil einer Vorlesung oder Übung war..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:00 Sa 16.01.2016 | | Autor: | hippias |
Das kein Missverständniss entsteht: für eine bestimmte Folge, z.B. die, die Du bearbeitet hast, kann man nach einiger Überlegung zu jedem [mm] $\varepsilon$ [/mm] einen passenden Index angeben.
Es ist aber kein Verfahren bekannt, das dies für eine beliebige Folge leistet. Die Konvergenz einer Folge nachzuweisen kann sehr schwierig sein.
Wenn in einer Klausur die Aufgabenstellung ist, dass man ohne Beweis den Grenzwert einer Folge angeben soll, so reicht das, was Du im ersten Post geschrieben.
Eher sollst Du aber beweisen, dass eine Folge einen Grenzwert hat - wie in der Aufgabenstellung Deiner jetzigen Aufgabe. Dieser Beweis geht dann so gut wie immer mit "Sei [mm] $\varepsilon>0$" [/mm] los und Du musst ein passendes $n$ finden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Sa 16.01.2016 | | Autor: | smilow |
Ok ich stellte gerade Fest dass, das Blödsinn war was ich geschrieben habe....
Klar meins war kein vollständiger Beweis, die Grenzwertvermutung in diesem Fall mit a=0 ist für mich völlig logisch.
Wie ich einen kompletten Beweis erstelle, ist mir eigentlich auch klar...
Aber wie komme ich in diesem speziellen Fall an meinen N(Epsilon) Wert? Ich sehe den entsprechenden Weg hier leider nicht.
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Hiho,
> Aber wie komme ich in diesem speziellen Fall an meinen
> N(Epsilon) Wert? Ich sehe den entsprechenden Weg hier
> leider nicht.
stelle die gewünschte Ungleichung [mm] $\frac{1}{2 + n^2} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] mal nach n um....
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:41 Sa 16.01.2016 | | Autor: | smilow |
Ja klar.. Danke :)
Also doch so einfach, kaum macht man es richtig funktioniert es auch... Naja ich hab ja noch ein bisschen bis zur Prüfung :)
Tausend Dank euch beiden!
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