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| Aufgabe | Zeige: f(x):=2x-1 ist stetig im Punkt
x=1
x=2
x=100
x=a |
Ich habe mir das andere Thema, in dem jemand eine ähnliche Frage gestellt hat, durchgelesen und versucht, dies auf meine Aufgabe anzuwenden, was mir aber nicht gelungen ist.
Zu meinem ersten Beispiel:
Nach dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium bedeutet das:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D(f) mit |x-1| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-1| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D(f) mit |x-1| < [mm] \delta \Rightarrow |2x^{2}-2| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Jetzt hab ich das [mm] 2x^{2}-2 [/mm] aufgeteilt in (x-1)(2x+2), weiß aber nicht, was ich nun machen soll, da ich das 2x+2 ja nicht abschätzen kann, weil es ja beliebig groß wird..
Schon mal danke im Voraus für eure Hilfe!
lg Herr von Omikron
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Zeige: f(x):=2x-1 ist stetig im Punkt
Deinen Worten weiter unten entnehme ich, dass f die Funktion f(x)= [mm] 2x^2-1 [/mm] ist
> x=1
> x=2
> x=100
> x=a
>
> Ich habe mir das andere Thema, in dem jemand eine ähnliche
> Frage gestellt hat, durchgelesen und versucht, dies auf
> meine Aufgabe anzuwenden, was mir aber nicht gelungen ist.
>
> Zu meinem ersten Beispiel:
>
> Nach dem [mm]\varepsilon[/mm] - [mm]\delta[/mm] - Kriterium bedeutet das:
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D(f) mit |x-1| < [mm]\delta \Rightarrow[/mm] |f(x)-1|
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] D(f) mit |x-1| < [mm]\delta \Rightarrow |2x^{2}-2|[/mm]
> < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> Jetzt hab ich das [mm]2x^{2}-2[/mm] aufgeteilt in (x-1)(2x+2), weiß
> aber nicht, was ich nun machen soll, da ich das 2x+2 ja
> nicht abschätzen kann, weil es ja beliebig groß wird..
Nein, beliebig groß wird das x nicht, denn Du untersuchst das Verhalten von f in der "Nähe" von 1.
Du kannst also von Anfang an annehmen, dass |x-1| [mm] \le [/mm] 1 ist. Dann bekommst Du:
|x|=|x-1+1| [mm] \le [/mm] |x-1|+1 [mm] \le [/mm] 2
Und damit:
[mm]|2x^{2}-2|= |x-1|*|2x+2| \le |x-1|*(2|x|+2) \le 6*|x-1|[/mm]
Hilft das ?
FRED
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> Schon mal danke im Voraus für eure Hilfe!
>
> lg Herr von Omikron
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hmm, so ganz verstanden hab ichs glaub ich noch nicht..
Warum kann ich davon ausgehen, dass |x-1|<1?
Die restlichen Schritte sind mir - glaube ich - klar, vielen Dank für deine Antwort!
lg Herr v. Omikron
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Hallo [mm]\Omicron[/mm][mm]\Omikron[/mm]Omikron,
> Hmm, so ganz verstanden hab ichs glaub ich noch nicht..
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> Warum kann ich davon ausgehen, dass |x-1|<1?
Na, das hat Fred doch geschrieben.
Du interessierst dich ja nur für den Bereich "in der Nähe" von [mm]x_0=1[/mm]
Dh. ohne Einschränkung für solche x'e, die näher an 1 liegen als 1, also im Intervall [mm](0,2)[/mm], dh. [mm]|x-1|<1[/mm]
Allg. [mm]|x-x_0|
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> Die restlichen Schritte sind mir - glaube ich - klar,
> vielen Dank für deine Antwort!
>
> lg Herr v. Omikron
Gruß
schachuzipus
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D. h. ich kann allgemein, wenn ich die Stetigkeit nachweisen will, davon ausgehen, dass der Abstand kleiner als 1 ist?
Ist das so ein "Standardtrick", den man bei solchen Aufgabenstellungen öfters braucht?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
genauer sollte man hinschreiben [mm] \delta_1<1, [/mm] später ein [mm] \delta_2 [/mm] bestimmen, so dass [mm] |f(x)-f(x_0)|<\epsilon [/mm] ist und am Ende [mm] \delta=min(\\delta_1,/delta_2
[/mm]
dann bist du exakt.
gruss leduart
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