Nähere erläuterung einer Aufga < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:25 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Mino1337 |
| Aufgabe | Gegeben seien mit B1 := {2x+2,3x} und B2:={x+1,x-2} zwei Basen des R1[x] sowie die lineare Abbildung L: R1[x] ==> R1[x] von der die darstellende Matrix bzgl. B1 bekannt ist LB1 = [mm] \vmat{ 0 & 1 \\ -2 & 0 }
[/mm]
Berechnen Sie L(2x + 2). |
Hallo,
Ich verstehe zwei dinge an dieser Aufgabe nicht und es wäre schön wenn mir diesmal wie schon so oft vorher wieder jemand eine Erleuchtung schenken könnte.
1. Ich habe im Internet für einen solchen fall eine Wunderbare erklärung gefunden die mir Weitergeholfen hat nämlich diese:
1. Den abzubildenden Vektor v muss man als Linearkombination der Basis BV schreiben.
2. Die Koeffizienten dieser Linearkombination fasst man selbst als Vektor auf.
3. Diesen "transformierten" Vektor multipliziert man nun mit der Darstellungsmatrix.
4. Das Bild des transformierten Vektors fasst man als Koeffizientenvektor auf (wie in Schritt 2. nur rückwärts) und bildet mit den Einträgen dieses Vektors eine Linearkombination aus den Basisvektoren von BW.
5. Jetzt muss man das alles nur noch zusammenfassen, und man hat das gesuchte Bild f(v).
Bis Punkt 4 ist alles Klar und richtig nur dann im Punkt 4 wird am ende gesagt
"mit den Einträgen dieses Vektors eine Linearkombination aus den Basisvektoren von BW"
BW ist hier aber falsch. Das Ergebnis ist -2*(3x)=-6x was hiesse das es eine Linearkombination aus den Basisvektoren von BV ist und nicht BW.
Ist es eine Linearkombination aus den Basisvektoren von BV weil es sich hier um die darstellende Matrix LB1 handelt ? Und wenn es die Matrix LB2 wäre würde man dann die kombination aus Basisvektoren von BW machen ?
2. Ich habe die Aufgabenstellung "Berechnen Sie L(2x + 2)." volgendermaßen interpretiert:
Man bekommt einen "Vektor" den man mithilfe der Abbildungsmatrix LB1 Berechnen soll.
Es ist wenig greifbar was ich hierran nicht verstehe, ich begreife ansich die Formulierung "L(2x + 2)" nicht.
Ich habe durch erraten begriffen was von mir verlangt wird.
|
|
| |
|
Hallo,
ich verstehe ein paar der von dir verwendeten Begriffe nicht:
R1[X] soll wohl der Raum der reellen Polynome vom Grad [mm] $\leq [/mm] 1$ sein?
Aber was ist BV und BW?
> ich begreife ansich die Formulierung "L(2x + 2)" nicht.
L ist eine Abbildung, 2x+2 ist aus ihrem Definitionsbereich. Deher soll hier das Bild von 2x+2 unter der Abb. L berechnet werden, anders ausgedrückt: Der Funktionswert zun 2x+2 soll bestimmt werden.
P.S: Mit Indezes [mm] $R_1[X], R_{\leq 1}[X]$ [/mm] sieht vieles schöner aus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Mi 26.03.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
>
> Bis Punkt 4 ist alles Klar und richtig nur dann im Punkt 4
> wird am ende gesagt
> "mit den Einträgen dieses Vektors eine Linearkombination
> aus den Basisvektoren von BW"
>
> BW ist hier aber falsch. Das Ergebnis ist -2*(3x)=-6x was
> hiesse das es eine Linearkombination aus den Basisvektoren
> von BV ist und nicht BW.
>
> Ist es eine Linearkombination aus den Basisvektoren von BV
> weil es sich hier um die darstellende Matrix LB1 handelt ?
> Und wenn es die Matrix LB2 wäre würde man dann die
> kombination aus Basisvektoren von BW machen ?
Nein, so ist die Interpretation nicht.
In dem von dir zitierten Text geht man von einer linearen Abbildung f (die heißt bei dir L) aus, die von einem Vektorraum V (mit der Basis BV) in einen Vektorraum W (mit der Basis BW) abbildet, also f : V [mm] \to [/mm] W Bei dir liegt aber der Spezialfall W = V vor, L bildet von V in sich ab, L : V [mm] \to [/mm] V und du hast es daher nur mit einer einzigen Basis zu tun. Die Aussage "BW ist hier aber falsch" stimmt deshalb nicht, es ist einfach BW=BV.
Wenn man eine andere Basis von V zugrunde legt, dann wird dieselbe Abbildung, (für die z.B. $ 2x+2 [mm] \;\mapsto \; [/mm] -3x $ gilt) durch eine andere Abbildungsmatrix dargestellt. Dein B2 ist aber wieder eine BV.
Gruß Sax.
|
|
|
|
