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| Aufgabe | ln sei der natürliche Algorithmus (also mit Basis e). Zeige, dass für alle (?) [mm] n\in\IN [/mm] gilt:
[mm] $e^{-2ln\, n + 3ln\, n\cdot ln\, ln\, ln\, n\ /\ ln\, ln\, n} \le e^{-ln\, n}$ [/mm] |
Hallo liebes Forum,
im Rahmen eines umfangreicheren Beweises gibt mir o.g. Ungleichung Rätsel auf. Ich bin mir dabei nicht einmal ganz sicher, ob die Aussage für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt (vermute ich aber mal) oder nur ab einem "gewissen" n.
Wäre nett, wenn mir jemand mit einem hilfreichen Tipp etwas Licht ins Dunkel bringen würde.
Danke!! 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Di 08.06.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> ln sei der natürliche Algorithmus (also mit Basis e).
> Zeige, dass für alle (?) [mm]n\in\IN[/mm] gilt:
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> [mm]e^{-2ln\, n + 3ln\, n\cdot ln\, ln\, ln\, n\ /\ ln\, ln\, n} \le e^{-ln\, n}[/mm]
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> Hallo liebes Forum,
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> im Rahmen eines umfangreicheren Beweises gibt mir o.g.
> Ungleichung Rätsel auf. Ich bin mir dabei nicht einmal
> ganz sicher, ob die Aussage für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt (vermute
> ich aber mal) oder nur ab einem "gewissen" n.
Fü n=1 oder n=2 bekommst du ganz schnell einen Term der Form [mm] $\ln [/mm] 0$. Das kann also nicht sein. Für $n>2$ ist alles wohldefiniert.
> Wäre nett, wenn mir jemand mit einem hilfreichen Tipp
> etwas Licht ins Dunkel bringen würde.
Zunächst einmal: einfaches Einsetzen zeigt, dass diese Ungleichung ab etwa n=600 falsch ist. Hast du sie falsch aufgeschrieben?
Fang doch mal an, die Ungleichung zu vereinfachen. Es bietet sich an, sie mit [mm] $n=e^{\ln n}$ [/mm] zu multiplizieren und links die fundamentale Relation [mm] $e^{x+y}=e^xe^y$ [/mm] anwenden:
[mm] e^{-\ln n}e^{3\ln n*\ln\ln\ln n/\ln \ln n} \le 1 [/mm] .
Außerdem ist immer [mm] $e^{a\ln n} [/mm] = [mm] n^a$, [/mm] sodass sich ergibt
[mm] \bruch{1}{n} n^{3\ln\ln\ln n/\ln \ln n} \le 1 [/mm] .
Daran siehst du, dass es entscheidend ist, ob
[mm] \bruch{\ln\ln\ln n}{\ln \ln n} [/mm]
größer oder kleiner als 1 ist. Sobald es größer als 1 wird, ist die Ungleichung verletzt.
Viele Grüße
Rainer
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