Nebenklassen lin. unabhängig < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:28 So 14.09.2014 | | Autor: | Infonerd |
| Aufgabe | Im [mm] R^4 [/mm] seien zwei Vektoren v und w und einen von einem reeelen Faktor a abhängigen Untervektorraum U gegeben.
[mm] v=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und w = [mm] \vektor{0 \\ 6 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
sowie U [mm] =[\vektor{1 \\ a \\ 0 \\ 2}, \vektor{1-a \\ 2-a^2 \\ 1 \\ -1 }, \vektor{ a \\ -1+a^2 \\ -1 \\ a^2 -a + 3 }]
[/mm]
Bestimmen sie alle a aus R sodass alle Elemente von v +U und w +U des Faktorraums [mm] R^4/U [/mm] linear unabhängig sind. |
also man hat ja mein Faktorraum die Dimensionsformel [mm] dim(R^4/U) [/mm] = [mm] dim(R^4)- [/mm] dim(U)
dann musste die Dimension des Faktorraums ja 1 sein.
Ich habe leider keine Ahung wie ich an die Aufgabe rangehen soll.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> [mm]R^4[/mm] zwei vektoren v und w und einen von a abhängigen
> Untervektorraum U mit
> [mm]v=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1}[/mm] und w = [mm]\vektor{0 \\ 6 \\ 6 \\ 2}[/mm]
>
> sowie U [mm]=[\vektor{1 \\ a \\ 0 \\ 2}, \vektor{1-a \\ 2-a^2 \\ 1 \\ -1 }, \vektor{ a \\ -1+a^2 \\ -1 \\ a^2 -a + 3 }][/mm]
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> Bestimmen sie alle a aus R sodass alle Elemente von v +U
> und w +U des Faktorraums [mm]R^4/U[/mm] linear unabhängig sind.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich fänd's ganz gut, wenn Du den Aufgabentext mal in der Originalformulierung posten würdest, er scheint mir nämlich etwas verkrutzt zu sein.
Zwar könnte ich den Text vermutlich erraten - aber Du sollst ja die Aufgabe lösen, wenn auch mit unserer Hilfe, und das genaue Studium des Aufgabentextes ist immer der erste Schritt auf dem Weg zu einer Lösung.
> also man hat ja mein Faktorraum die Dimensionsformel
> [mm]dim(R^4/u)[/mm] = [mm]dim(R^4)-[/mm] dim(u)
Es wäre hier wichtig, u und U zu unterscheiden.
> dann musste die Dimension des Faktorraums ja 1 sein.
Bist Du Dir sicher, daß dimU=3? Wieso?
LG Angela
> Ich habe leider keine Ahung wie ich an die Aufgabe
> rangehen soll.
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:08 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Infonerd |
Ich habe jetzt die Aufgabenstellung nochmals überarbeitet(in die originalfassung.
dim(U) muss nicht unebedingt 3 sein, es könnte sein dass durch bestimmte a Vektoren von U linear abhängig werden oder?
wäre es hilfreich zu wissen ob Vektoren von U bei bestimmten a linear abhängig werden?
Vielen Dank schon mal für die Antwort.
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> Ich habe jetzt die Aufgabenstellung nochmals
> überarbeitet(in die originalfassung.
Hallo,
ich glaube nicht, daß es so, wie Du es jetzt dastehen hast, die Originalfassung ist.
Es gibt Indizien, die dagegen sprechen.
Ich vermute stark, daß die Aufgabenstellung diese ist:
| Aufgabe | Im [mm] \IR^4 [/mm] seien zwei Vektoren v und w und ein von [mm] a\in \IR [/mm] abhängiger Untervektorraum U gegeben mit
[mm] v:=\vektor{1 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm] und w [mm] := \vektor{0 \\ 6 \\ 6 \\ 2}
[/mm]
sowie U [mm] :=[\vektor{1 \\ a \\ 0 \\ 2}, \vektor{1-a \\ 2-a^2 \\ 1 \\ -1 }, \vektor{ a \\ -1+a^2 \\ -1 \\ a^2 -a + 3 }]
[/mm]
Bestimmen Sie alle [mm] a\in\IR, [/mm] sodass [mm] v+U,w+U\in \IR^4/U [/mm] linear unabhängig sind. |
U ist ein Untervektorraum, welcher von drei Vektoren aufgespannt wird.
> dim(U) muss nicht unebedingt 3 sein, es könnte sein dass
> durch bestimmte a Vektoren von U linear abhängig werden
> oder?
Genau.
>
> wäre es hilfreich zu wissen ob Vektoren von U bei
> bestimmten a linear abhängig werden?
Ja, dieser Frage würde ich zuerst auf den Grund gehen.
Für welche a hat U welche Dimension?
Für den Fall, daß Du nicht weißt, man das herausbekommen kann:
bring die Matrix, die die drei Vektoren in den Spalten enthält,
auf Zeilenstufenform und untersuche den Rang in Abhängigkeit von a.
Wenn dimU=3 ist, ist [mm] dim(\IR^4/U)=1,
[/mm]
und die beiden gegebenen Vektoren des Faktorraumes, v+U und w+U, können ja gar nicht linear unabhängig sein.
Zu untersuchen bleiben dann die a, für welche [mm] dimU\not=3.
[/mm]
Schauen wir erstmal, wie weit Du kommst.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:51 Mo 15.09.2014 | | Autor: | Infonerd |
so ich habe jetzt mal den Rang in abhängigkeit von a berechnet:
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1-a \\ 0 & 0 & a^2-a}
[/mm]
dass ist die Matrix in Zeilenstufen Form
das heisst wenn a = 0 hat die Matris Rang 3 ==> dimension(3) nicht lin unabhängig
a=1 Rang = 2 ==> könnte linear unabhängig sein
a sonst rang = 3 wieder nicht linear unabhängig.
wie finde ich jetzt heraus ob die Nebenklassen im falle a=1 linear unabhängig sind?
vielen dank schon mal.
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> so ich habe jetzt mal den Rang in abhängigkeit von a
> berechnet:
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> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 1-a \\ 0 & 0 & a^2-a}[/mm]
>
> dass ist die Matrix in Zeilenstufen Form
>
> das heisst wenn a = 0 hat die Matris Rang 3 ==>
> dimension(3) nicht lin unabhängig
Hallo,
Du willst sicher sagen, daß für a=0
dim U=3, folglich [mm] dim(\IR^4/U)=1,
[/mm]
und daß daher die beiden Vektoren u+U und w+U nicht unabhängig sein können.
>
> a=1 Rang = 2 ==> könnte linear unabhängig sein
Genau.
Du könntest ja mal eine Basis von U bestimmen.
Es gibt nun verschiedene Möglichkeiten, wie man weitermachen kann.
Wenn einem nichts anderes einfällt, dann prüft man halt, ob die Gleichung
[mm] \alpha(v+U)+\beta(w+U)=0_{\IR^4/U}
[/mm]
nur die Lösung [mm] \alpha=\beta=0 [/mm] hat, oder ob es eine nichttriviale Lösung gibt.
Dazu muß man wissen (überlegen/nachlesen), was die Null in [mm] \IR^4/U [/mm] ist.
LG Angela
> a sonst rang = 3 wieder nicht linear unabhängig.
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> wie finde ich jetzt heraus ob die Nebenklassen im falle a=1
> linear unabhängig sind?
>
> vielen dank schon mal.
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