Nebenräume/-klassen Faktorräme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:07 Sa 18.02.2006 | | Autor: | benjay |
Ich verstehe nicht was ich mir unter Faktorrämen und Nebenräumen vorstellen kann/soll. Genauso wenig verstehe ich warum es sie gibt, also was man damit machen kann. Ich hab es in mehrern Büchern nachgelesen hat aber nichts geholfen. Vielleicht hat jemand einen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 So 19.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
ich versuche mich mal an einer Antwort, obwohl die Frage eigentlich viiiel zu allgemein gestellt ist um ordentlich darauf antworten zu können:
Also , du kennst doch sicher die Modulo-Rechnung, oder?
also angenommen, wir interessieren uns nur für die Teilbarkeit durch 3, dann spalten wir ganz [mm] $\IZ$ [/mm] in die Restklassen [mm] $\overline{0}$ [/mm] , [mm] $\overline{1}$ [/mm] und [mm] $\overline{2}$.
[/mm]
Diese drei Elemente erzählen uns eigentlich schon alles, was wir über Teilbarkeit mit 3 zu allen Zahlen aus [mm] $\IZ$ [/mm] wissen müssen.
(nur eben nicht, wie oft eine Zahl in [mm] $\overline{0}$ [/mm] durch 3 teilbar ist, aber dies interessiert ja auch hier nicht mehr)
Ähnlich läuft es bei Faktorräumen : man telit einen Unterraumraum heraus umd die Informationen über diesen zu "vergessen", d.h. man erhält dann Repräsentanten, die einem eigentlich schon alles sagen, wenn man sich eben nicht wirklich um den Unterraum kümmern will, den man heraus geteilt hat.
Beispiel:
Wir nehmen eine lineare Abbildung von [mm] $\IR^2 \to \IR^2$ [/mm] , diese habe den Kern $< [mm] \vektor{0\\1} [/mm] >$ also das ist die Ursprungsgerade, die diese Richtung hat. (hier die y-Achse)
Weiter nehmen wir mal an, wir wollten das entspr. Gleichungssystem lösen (d.h. Urbilder bestimmen), dann weißt du sicherlich, dass gilt : Lösungsmenge=spezielle Lösung des inhomogen Glsys + allgemeine Lösung des homogenen Gl.sys
Das bedeutet : wenn du ein Urbild kennst, das nicht im Kern liegt, dann darfst du zu dieser sofort den ganzen Kern addieren und hast damit alle Urbilder.
Bildlich bedeuttet dies folgendes :
nehemn wir an, wir hätten f(x,y)=(x,x) als Abbildung.
Dann ist natürlich der Kern das Erzeugnis von oben und zu jedem Bildbild der Winkelhalbierenden kennen wir sofort auch ein Urbild, denn f(x,x)=(x,x)
D.H. wenn du dir ein Punkt auf der Winkelhalbierenden rausnimmst, dann sind alle Urbilder dieses Punktes die Gerade parallel zur y-Achse durch diesen Punkt. (Das nennt man dann Faser oder so ähnlich...)
Wenn du hier mal ein wenig drüber nachdenken willst :
Normaler weise betrachtet man ja immer die Bilder einer Abbildung, also was bekomme ich heraus, wenn ich den und den Vektor reinstecke..
Hier macht man es genau andersrum : was kann ich hineinstecken, damit ein bestimmter Vektor heraus kommt - man geht also vom Bildraum aus...
So und anstatt sich jetzt immer ganze Geraden zu einem Punkt (x,x) merken zu müssen, kann man den Def. bereich auch erstmal durch dern Kern teilen (also den Faktorraum bestimmen), dann bekommt man Repräsentanten der Urbilder, d.h. man bekommt zu jedem Punkt (x,x) des Bildes einen Punkt (x,x) (oder aber auch (x,0) wenn man mag) des Def.Bereich , der das Bild auch trifft
(die Information über den ganzen Kern, der dies ja dann additiv auch macht will man dann nicht mahr haben)
Jetzt habe ich zwar viel drum herum geschrieben, aber ich will es nochmal auf (meinen/) den Punkt bringen:
Faktorräume benutzt man um die Strucktur eines Raumes zu nutzen und nicht ständig mit ganzen Unterräumen handtieren zu müssen, sondern sich eine "Hilfsmenge" von Repräsentanten zu schaffen, so dass ein ganzer Unterraum vorher nun nur noch ein Element x ist.
(x modulo geteilten Unterraum eben...)
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 So 19.02.2006 | | Autor: | benjay |
Hi DaMenge,
danke erstmal für die ausführliche Antwort. Wenn ich das richtig verstanden habe ist das Konzept der Faktorräume also, dass man abstrahiert bzw. etwas großes (Raum) zu etwas kleinen einfachen(Vektor) macht, welches dann aber wieder die Eigenschaften (und zwar alle) des großen hat? Müste dann ja soetwas ähnliches sein wie die Äquivalenzklassen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 So 19.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
> richtig verstanden habe ist das Konzept der Faktorräume
> also, dass man abstrahiert bzw. etwas großes (Raum) zu
> etwas kleinen einfachen(Vektor) macht, welches dann aber
> wieder die Eigenschaften (und zwar alle) des großen hat?
Naja - dabei kommt ja nicht unbedingt ein Vektor raus - evtl nur eine Menge
(also eindimensionale Vektoren, wenn man unbedingt will)
> Müste dann ja soetwas ähnliches sein wie die
> Äquivalenzklassen?
Ich wusste nicht, dass du dies schon kennst, denn es SIND die Äquivalenzklassen !
V/U sind einfach die Repräsentanten der Äquivalenzrelation ~.
Wobei : u~v , wenn (u-v) in U liegt, oder anders : wenn u+u'=v für ein u' aus U...
siehe auch bei : ![[]](/images/popup.gif) Wiki(Faktorraum)
viele Grüße
DaMenge
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Hallo zusammen und einen morgenlichen Gruss an alle Freunde von
Kongruenzrelationen,
also DaMenge hat es eigentlich ja schon komplett beantwortet:
Man interessiert sich fuer ein vergroebertes Abbild einer Struktur (zB. eines Vektorraumes oder eines Ringes oder...),
und man fasst also die Dinge, die man als gleich betrachten moechte (gleichwertig = aequivalent), in Klassen einer
Aequivalenzrelation zusammen.
Die Frage ist dann immer, wann zu einer Grundmenge X und einer Aequivalenzrelation R auf X die Quotientenmenge
[mm] X\slash [/mm] R wieder auf natuerliche Weise eine aehnliche algebraische Struktur aufweist wie X (zB wieder ein Vektorraum ist, wenn X einer war).
Das ist das, was man dann bei der Wohldefiniertheit prueft.
Stichwort allgemein: A Course in Universal Algebra
von Burris und Sankapanavar.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:17 Mo 20.02.2006 | | Autor: | benjay |
Hallo zusammen,
langsam erschliest sich auch mir der Zusammenhang der einzelnen Kapitel des Semesters d:D
Danke für Eure Hilfe, hat mich sehr weitergebracht.
Einen schönen Tag noch
benjay
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