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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 So 20.10.2013 | | Autor: | aieou94 |
| Aufgabe | | Seien M eine Menge und A,B [mm] \subset [/mm] M und F(X) eine Aussageform. Beweisen Sie die de Morganschen Regeln für Aussagen und Mengen. |
Hallo,
[Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.]
ich habe gerade mit einem Physik-Studium begonnen und wir haben in zwei verschiedenen Vorlesungen (einmal über Analysis und die andere war über Lineare Algebra) naive Mengenlehre behandelt. Nun sollen wir folgende Äquivalenz beweisen:
¬(∀X ∈ M : F(X)) ⇔ ∃X ∈ M : ¬F(X)
Nun habe ich mir gedacht, das man das möglicherweise so ausschreiben kann (was ja keine große Veränderung ist):
¬∀X ∈ M : ¬F(X) ⇔ ∃X ∈ M : ¬F(X)
Ich komme aber von da nicht weiter. Ich habe keine Idee, wie man die Äquivalenz beweisen soll, da uns einfach gesagt wurde, ¬∀ wäre gleich ∃.
Ich würde mich über eine Idee eines Ansatzes sehr freuen.
Vielen Dank schonmal im Voraus 
aeiou94
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Hallo aeiou94 und erstmal herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Seien M eine Menge und A,B [mm]\subset[/mm] M und F(X) eine
> Aussageform. Beweisen Sie die de Morganschen Regeln für
> Aussagen und Mengen.
> Hallo,
>
> [Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.]
> ich habe gerade mit einem Physik-Studium begonnen und wir
> haben in zwei verschiedenen Vorlesungen (einmal über
> Analysis und die andere war über Lineare Algebra) naive
> Mengenlehre behandelt. Nun sollen wir folgende Äquivalenz
> beweisen:
>
> ¬(∀X ∈ M : F(X)) ⇔ ∃X ∈ M : ¬F(X)
>
> Nun habe ich mir gedacht, das man das möglicherweise so
> ausschreiben kann (was ja keine große Veränderung ist):
>
> ¬∀X ∈ M : ¬F(X) ⇔ ∃X ∈ M : ¬F(X)
>
> Ich komme aber von da nicht weiter. Ich habe keine Idee,
> wie man die Äquivalenz beweisen soll, da uns einfach
> gesagt wurde, ¬∀ wäre gleich ∃.
>
> Ich würde mich über eine Idee eines Ansatzes sehr
> freuen.
Naja, was habt ihr denn schon behandelt? Das verrätst du leider nicht ...
Kennt ihr die de Morgan'schen Regeln für das logische "und" und "oder"?
Dann könntest du das darauf "runterbrechen"
Wenn wir die Elemente von [mm]M[/mm] mal [mm]x_1, x_2, x_3, \ldots[/mm] nennen, so kann man doch anstatt
[mm]\forall x\in M:F(x)[/mm]
auch schreiben:
[mm](F(x_1)\wedge f(x_2)\wedge F(x_3)\wedge\ldots)[/mm]
Kannst du damit weiterarbeiten?
>
> Vielen Dank schonmal im Voraus
>
> aeiou94
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:34 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo schachuzipus!
> Wenn wir die Elemente von [mm]M[/mm] mal [mm]x_1, x_2, x_3, \ldots[/mm]
> nennen, so kann man doch anstatt
>
> [mm]\forall x\in M:F(x)[/mm]
>
> auch schreiben:
>
> [mm](F(x_1)\wedge f(x_2)\wedge F(x_3)\wedge\ldots)[/mm]
Achtung: $M$ ist nicht als abzählbar vorausgesetzt.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mo 21.10.2013 | | Autor: | aieou94 |
Danke sehr für die Antwort. Sie hatte Ideen zur Folge, die zwar nicht funktioniert haben, aber immerhin etwas.
Vielen Dank auch dir nochmal.
aeiou94
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:32 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo aeiou94 und auch von mir ein herzliches !
> ich habe gerade mit einem Physik-Studium begonnen und wir
> haben in zwei verschiedenen Vorlesungen (einmal über
> Analysis und die andere war über Lineare Algebra) naive
> Mengenlehre behandelt. Nun sollen wir folgende Äquivalenz
> beweisen:
>
> ¬(∀X ∈ M : F(X)) ⇔ ∃X ∈ M : ¬F(X)
>
> Nun habe ich mir gedacht, das man das möglicherweise so
> ausschreiben kann (was ja keine große Veränderung ist):
>
> ¬∀X ∈ M : ¬F(X) ⇔ ∃X ∈ M : ¬F(X)
Das mittlere [mm] $\neg$ [/mm] gehört da nicht hin.
Zu zeigen sind zwei Implikationen.
[mm] "$\Rightarrow$":
[/mm]
Hier verwenden wir Kontraposition:
Gelte [mm] $\neg$∃X [/mm] ∈ M : ¬F(X). (*)
Zu zeigen ist [mm] $\neg$(¬∀X [/mm] ∈ M : F(X)), d.h. ∀X ∈ M : F(X).
Sei also [mm] $X\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben. Dann gilt notwendigerweise $F(X)$, denn sonst gäbe es ja ein [mm] $X\in [/mm] M$ mit [mm] $\neg [/mm] F(X)$, was (*) widersprechen würde.
Da [mm] $X\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben war, gilt tatsächlich F(X) für alle [mm] $X\in [/mm] M$.
[mm] "$\Leftarrow$":
[/mm]
Gelte ∃X ∈ M : ¬F(X). (**)
Zu zeigen ist ¬∀X ∈ M : F(X).
Angenommen [mm] $\neg$¬∀X [/mm] ∈ M : F(X), d.h. ∀X ∈ M : F(X). (***)
Zu zeigen ist ein Widerspruch.
Nach (**) existiert ein [mm] $X\in [/mm] M$ mit [mm] $\neg [/mm] F(X)$.
Nach (***) gilt jedoch $F(X)$.
Diese beiden Tatsachen liefern den gewünschten Widerspruch.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:11 Mo 21.10.2013 | | Autor: | aieou94 |
Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Das ist weit mehr als ich eigentlich wollte, aber es ist auch genauso viel mehr Hilfreich als nur eine Idee.
Vielen Dank nochmal
aeiou94
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