Negativ definit und Hauptminor < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 So 15.01.2012 | | Autor: | kalifat |
| Aufgabe | | Ich würde gerne zeigen, dass die quadratische Form [mm] q(x)=x^{T}Ax [/mm] <0 genau dann wenn die Hauptminoren ungerader Ordnung negativ und gerader Ordnung positiv sind. |
Den Satz: "Eine quadratische Form ist genau dann positiv definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind" möchte ich als bekannt vorrausetzen und daraus nun die Umkehrung zeigen. Hat da jemand eine Idee dazu?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:01 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ich würde gerne zeigen, dass die quadratische Form
> [mm]q(x)=x^{T}Ax[/mm] <0 genau dann wenn die Hauptminoren ungerader
> Ordnung negativ und gerader Ordnung positiv sind.
> Den Satz: "Eine quadratische Form ist genau dann positiv
> definit, wenn alle Hauptminoren positiv sind" möchte ich
> als bekannt vorrausetzen und daraus nun die Umkehrung
> zeigen. Hat da jemand eine Idee dazu?
Wende den bereits bekannten Satz auf die Matrix $B := -A$ an. Was sind die Hauptminoren von $B$ im Vergleich zu denen von $A$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 So 15.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Wenn ich annehme das alle Hauptminoren von A größer als 0 sind, dann gilt für die Hauptminoren von B:=-A das sie alle negativ sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:09 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wenn ich annehme das alle Hauptminoren von A größer als 0
> sind,
Das sind sie doch nicht. Die sind doch abwechselnd positiv und negativ.
Aber selbst wenn sie das waeren:
> dann gilt für die Hauptminoren von B:=-A das sie
> alle negativ sind.
Nein, das stimmt nicht. Das stimmt nur bei den ungeraden Hauptminoren.
Schreib doch mal die Definition eines Hauptminors hin. Und wie kannst du allgemein [mm] $\det(\lambda [/mm] C)$ durch [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\det(C)$ [/mm] ausdruecken?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:20 So 15.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Habe zu voreilig und zu unüberlegt geantwortet, sry. Also für dier Det. eines Skalars mit einer [mm] n\times{n}-Matrix [/mm] gilt:
[mm] Det(\lambda*A)=\lambda^{n}*det(A)
[/mm]
Nun zum Hauptminor:
Sei A eine [mm] n\times{n}-Matrix [/mm] und für k=1,...,n sei [mm] A_k [/mm] die linke obere [mm] k\times{k} [/mm] Matrix die durch Streichung der n-k rechts gelegenen Spalten sowie den n-k unten befindlichen Zeilen entsteht. Die Determinante von [mm] A_k [/mm] nennt man dann Hauptminor.
Wenn also Det(A) nun alternierende Vorzeichen besitzt, dann hat die det von B Werte von der Form [mm] (-1)^{n}*det(A_k) [/mm] und diese sind alle positiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:36 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Habe zu voreilig und zu unüberlegt geantwortet, sry. Also
> für dier Det. eines Skalars mit einer [mm]n\times{n}-Matrix[/mm]
> gilt:
>
> [mm]Det(\lambda*A)=\lambda^{n}*det(A)[/mm]
>
> Nun zum Hauptminor:
>
> Sei A eine [mm]n\times{n}-Matrix[/mm] und für k=1,...,n sei [mm]A_k[/mm] die
> linke obere [mm]k\times{k}[/mm] Matrix die durch Streichung der n-k
> rechts gelegenen Spalten sowie den n-k unten befindlichen
> Zeilen entsteht. Die Determinante von [mm]A_k[/mm] nennt man dann
> Hauptminor.
>
> Wenn also Det(A) nun alternierende Vorzeichen besitzt, dann
> hat die det von B Werte von der Form [mm](-1)^{n}*det(A_k)[/mm] und
> diese sind alle positiv.
Genau. Und mit dem Satz folgt damit, dass [mm] $x^t [/mm] B x > 0$ ist fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$.
Was sagt das nun fuer [mm] $x^t [/mm] A x$ aus (mit $x [mm] \neq [/mm] 0$)?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 So 15.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Nunja, dadurch das A=-B müsste das dann heißen, dass [mm] x^{T}Ax<0 [/mm] für alternierende Hauptminoren.
Jetzt haben wir doch aber nur die Rückrichtung gezeigt, also wir sind von alternierenden Minoren ausgegangen und haben auf die negativ Definitheit geschlossen.
Wie schaut das dann aber andersrum aus?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Nunja, dadurch das A=-B müsste das dann heißen, dass
> [mm]x^{T}Ax<0[/mm] für alternierende Hauptminoren.
>
> Jetzt haben wir doch aber nur die Rückrichtung gezeigt,
> also wir sind von alternierenden Minoren ausgegangen und
> haben auf die negativ Definitheit geschlossen.
>
> Wie schaut das dann aber andersrum aus?
Du weisst [mm] $x^T [/mm] A x < 0$ fuer alle $x [mm] \neq [/mm] 0$. Also gilt [mm] $x^T [/mm] B x > 0$ fuer alle $x [mm] \neq [/mm] 0$. Jetzt wende den Satz, den du schon hast, auf $B$ an: du bekommst eine Aussage fuer die Hauptminoren von $B$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 So 15.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Um es jetzt noch einmal zusammenzufassen:
(<=)
Haben mit B:=-A begonnen, mit dem bekannten Resultat Aussagen über die Hauptminoren von [mm] x^{T}Bx [/mm] machen können und anschließend auf die von [mm] x^{T}Ax [/mm] schließen können.
(=>)
[mm] x^{T}Ax<0 (x\not=0) [/mm] => [mm] x^{T}Bx>0 [/mm] Bekanntes Resultat darauf angewendet liefert das alle Hauptminoren positiv sein müssen. Wenn ich von da nun auf A schließe, erhalte ich das diese alternierend sind.
Passt so nun alles?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Um es jetzt noch einmal zusammenzufassen:
>
> (<=)
>
> Haben mit B:=-A begonnen, mit dem bekannten Resultat
> Aussagen über die Hauptminoren von [mm]x^{T}Bx[/mm] machen können
[mm] $x^T [/mm] B x$ ist ein Skalar, keine Matrix. Du meinst die Hauptminoren von $B$.
> und anschließend auf die von [mm]x^{T}Ax[/mm] schließen können.
(hier genauso)
Mir ist hier nicht ganz klar, welche Richtung du zeigen willst. Die Rueckrichtung der urspruenglichen Aussage ist "Hauptminoren alternierend [mm] $\Rightarrow x^T [/mm] A x < 0$ fuer $x [mm] \neq [/mm] 0$".
Das was du hier gezeigt hast ist die Umkehrung davon, und davon abgesehen genau das was du unten nochmal zeigst:
> (=>)
>
> [mm]x^{T}Ax<0 (x\not=0)[/mm] => [mm]x^{T}Bx>0[/mm] Bekanntes Resultat darauf
> angewendet liefert das alle Hauptminoren positiv sein
> müssen. Wenn ich von da nun auf A schließe, erhalte ich
> das diese alternierend sind.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 So 15.01.2012 | | Autor: | kalifat |
Hauptminoren alternierend $ [mm] \Rightarrow x^T [/mm] A x < 0 $ fuer $ x [mm] \neq [/mm] 0 $
Da kann ich dann doch wieder eine Matrix B:=-A definieren für die gilt, dass die Hauptminoren positiv sind. Jetzt folgt durch Anwendung des Satzes, dass [mm] x^{T}Bx>0 [/mm] für [mm] x\not=0. [/mm] Da wir B:=-A muss für [mm] x^T [/mm] A x < 0 gelten. Damit wäre nun die andere Richtung gezeigt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:15 So 15.01.2012 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Hauptminoren alternierend [mm]\Rightarrow x^T A x < 0[/mm] fuer [mm]x \neq 0[/mm]
>
> Da kann ich dann doch wieder eine Matrix B:=-A definieren
> für die gilt, dass die Hauptminoren positiv sind. Jetzt
> folgt durch Anwendung des Satzes, dass [mm]x^{T}Bx>0[/mm] für
> [mm]x\not=0.[/mm] Da wir B:=-A muss für [mm]x^T[/mm] A x < 0 gelten. Damit
> wäre nun die andere Richtung gezeigt.
genau!
LG Felix
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