Negative Hypergeo. Verteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:34 Mi 10.01.2007 | | Autor: | smee |
| Aufgabe | Aus einer Urne mit R roten und S schwarzen Kugeln werden solange
zufällig ohne Zurücklegen Kugeln gezogen, bis insgesamt k rote Kugeln gezogen wurden (1 <= k <= R). Die Zufallsvariable [mm] X_k [/mm] bezeichne die Anzahl der nötigen Züge. Bestimmen Sie die Verteilung von [mm] X_k. [/mm] |
Hallo!
Zur Vorbereitung auf eine Mathe-Klausur habe ich mich an obige Aufgabe gesetzt und hänge etwas fest. Es wäre nett, wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Als Bemerkung ist zusätzlich noch angegeben:
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Bemerkung: Für [mm]N, M, a \in \IN[/mm], 1 <= a <= M <= N heißt die Verteilung mit der Zähldichte
[mm]h_{N, M, a}(i) = \bruch{\vektor{i-1 \\ a-1} \vektor{N-i \\ M-a}}{\vektor{N \\ M}}[/mm]
für [mm]i \in \IN, a <= i <= N - M + a[/mm] negative hypergeometrische Verteilung zu den Parametern N,M und a.
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Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, muss man nur eine Herleitung für die in der Bemerkung angegebene Formel finden ... Das Ganze müsste ja analog zur negativen Binomialverteilung funktionieren, also:
P(A) :=^ "WS, dass k-1 Kugeln in einer Stichprobe von n-1 Kugeln rot sind"
P(B) :=^ "WS, dass die n. Kugel rot ist"
[mm] P(X_k) [/mm] = P(A) * P(B)
Ist das soweit schon mal korrekt?
Dann wäre also P(A) die Hypergeometrische Verteilung:
[mm]P(A) = \bruch{\vektor{R \\ k-1} \vektor{S \\ n-k}}{\vektor{R+S \\ n-1}}[/mm]
Und P(B) einfach "Restliche Rote Kugeln / Restliche gesamte Kugeln"
[mm]P(B) = \bruch{R-(k-1)}{R+S-(n-1)}[/mm]
Leider komme ich nun beim Rechnen und Herleiten der Formel arg ins Straucheln ... gibt es da irgendwelche Tricks? 
[mm]P(X_k = n) = \bruch{\vektor{R \\ k-1} \vektor{S \\ n-k}}{\vektor{R+S \\ n-1}} * \bruch{R-(k-1)}{R+S-(n-1)} = ... = \bruch{\vektor{R-1 \\ k-1} \vektor{S \\ n-k}}{\vektor{R+S \\ n}}[/mm]
... ??? ...
Es sieht ja nicht soo schwer aus, aber die Binomialkoeffizienten auseinander zu klamüsern bereitet mir doch einiges Kopfzerbrechen.
Viele Grüße,
Carsten
edit: Mir sind zwei kleine Fehler aufgefallen: Es muss bei P(B) ja heißen R-(k-1) bwz. R+S-(n-1) ... (Die Klammern hatte ich vergessen).
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:20 Do 18.01.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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