Neigungswinkel bestimmen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Do 26.11.2009 | | Autor: | Candoo |
| Aufgabe | Ein Signalmast steht auf der horizontalen x - y - Ebene. Er
hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide mit
einem aufgesetzten verspiegelten Signalquadrat, das um
seine vertikale Diagonale ST gedreht werden kann.
Dieser Mast steht in einem schrägen Hang, dessen
Oberfläche die Ebene ist, die durch B, C und A1 geht.
(siehe Skizze) Ein Teil der Pyramide befindet sich also
unter der Hangoberfläche. Gegeben sind die Punkte A
(6| 0| 0), B (8| 4| 0), C(4| 6| 0) D(2| 2| 0), S (5| 3| 10), T(5| 3|
15), A1 (5,8| 0,6| 2).
2.1. Bestimmen Sie den Neigungswinkel des Hanges
gegenüber der Horizontalebene. In welchem Punkt D1 tritt
die Pyramidenkante DS aus der Hangoberfläche aus?
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Wie kann ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Ich dachte mir,dass ich zuerst die Ebene des Hanges bilde,welche wäre:
E= [mm] \vektor{8 \\ 4 \\0}+r*\vektor{-4 \\ 2 \\0}+s*\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\2}
[/mm]
Es ist der Neigungswinkel gegenüber der Horizontalebene gesucht:
Die Horizontalebene bilde ich aus den 3 Vektoren A,B & C:
[mm] E=\vektor{6\\ 0 \\0}+r*\vektor{2 \\ 4 \\0}+s*\vektor{-2 \\ 6 \\0}
[/mm]
Also hätte ich 2 Ebenen.
Wie geht es nun weiter?Bin ich überhaupt bisher richtig vorgegangen,wäre über Tipps arg dankbar
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Fr 27.11.2009 | | Autor: | glie |
> Ein Signalmast steht auf der horizontalen x - y - Ebene.
> Er
> hat die Form einer senkrechten quadratischen Pyramide mit
> einem aufgesetzten verspiegelten Signalquadrat, das um
> seine vertikale Diagonale ST gedreht werden kann.
> Dieser Mast steht in einem schrägen Hang, dessen
> Oberfläche die Ebene ist, die durch B, C und A1 geht.
> (siehe Skizze) Ein Teil der Pyramide befindet sich also
> unter der Hangoberfläche. Gegeben sind die Punkte A
> (6| 0| 0), B (8| 4| 0), C(4| 6| 0) D(2| 2| 0), S (5| 3|
> 10), T(5| 3|
> 15), A1 (5,8| 0,6| 2).
>
> 2.1. Bestimmen Sie den Neigungswinkel des Hanges
> gegenüber der Horizontalebene. In welchem Punkt D1 tritt
> die Pyramidenkante DS aus der Hangoberfläche aus?
>
> Wie kann ich bei dieser Aufgabe vorgehen?
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
wundert mich, dass sich um deine Frage bisher noch niemand gekümmert hat. Normalerweise bekommst du schneller eine Antwort, insbesondere weil du gute Vorarbeit geliefert hast.
>
> Ich dachte mir,dass ich zuerst die Ebene des Hanges
> bilde,welche wäre:
> E= [mm]\vektor{8 \\ 4 \\0}+r*\vektor{-4 \\ 2 \\0}+s*\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\2}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Es ist der Neigungswinkel gegenüber der Horizontalebene
> gesucht:
>
> Die Horizontalebene bilde ich aus den 3 Vektoren A,B & C:
> [mm]E=\vektor{6\\ 0 \\0}+r*\vektor{2 \\ 4 \\0}+s*\vektor{-2 \\ 6 \\0}[/mm]
Das ist richtig so, aber das kannst natürlich auch einfacher haben:
(oh und vielleicht solltest du diese Ebene nicht auch E nennen, sonst kommen wir mit der ersten Ebene durcheinander)
[mm] $H:\vec{X}=\vektor{0\\ 0 \\0}+r*\vektor{1 \\ 0 \\0}+s*\vektor{0 \\ 1 \\0}$
[/mm]
oder in Koordinatenform:
[mm] $H:x_3=0$
[/mm]
>
> Also hätte ich 2 Ebenen.
Du brauchst ja den Winkel zwischen zwei Ebenen. Ich hoffe, dass du weisst, wie man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet.
Das geht mit der Formel
[mm] $cos(\alpha)=\bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}$
[/mm]
Und der Winkel zwischen zwei Ebenen ist einfach der Winkel zwischen den Normalenvektoren der beiden Ebenen.
Bestimme also jetzt jeweils einen Normalenvektor der Ebenen E und H.
Jetzt solltest du doch erstmal weiterkommen. Wenn nicht, dann frag hier einfach wieder nach.
Gruß Glie
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> Wie geht es nun weiter?Bin ich überhaupt bisher richtig
> vorgegangen,wäre über Tipps arg dankbar
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:48 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Die erste Ebene ist wie gesagt $ [mm] E=\vektor{6\\ 0 \\0}+r\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\0}+s\cdot{}\vektor{-2 \\ 6 \\0} [/mm] $
Alles klar,dann nehme ich deine Ebene H, aber verstehe nicht wie du von meiner "alten" Ebene auf diese Ebene kommst
$ [mm] H:\vec{X}=\vektor{0\\ 0 \\0}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] $
Da das Winkel zwischen 2 Ebenen ist,wende ich diese Formel also mit Normalenvektoren an:
$ [mm] cos(\alpha)=\bruch{\vec{n_{1}}\cdot{}\vec{n_{2}=}}{|\vec{n_{1}}|\cdot{}|\vec{n_{2}}|} [/mm] $
Nun berechne ich den ersten Normalenvektor von der Ebene:
[mm] n_{1}*\vektor{2 \\ 4 \\0}=0
[/mm]
[mm] n_{2}*\vektor{-2 \\ 6 \\0}=0
[/mm]
Ich komme so auf die [mm] Matrix\vmat{ 2 & 4 \\ -2 & 6 }\vmat{0 \\ 0 }
[/mm]
Ich rechne die zweite + die erste Spalte:
[mm] \vmat{ 2 & 4 \\ 0 & 10 }\vmat{0 \\ 0 }
[/mm]
Also ist 10x=0 ; x ist also 0.
Setze ich dies nun in die erste Spalte ein:
2x1=0
x1=0
x3 wäre dann also auch 0,also besteht [mm] n_{1} [/mm] nur aus 0en.
Der zweite Normalenvektor müsste dann doch nicht mehr ausgerechnet werden,da bei der Formel eh 0 rauskommen würde.
Ich glaub ich hab nen Fehler gemacht:P
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Hallo Candoo und ,
> Die erste Ebene ist wie gesagt [mm]E=\vektor{6\\ 0 \\0}+r\cdot{}\vektor{2 \\ 4 \\0}+s\cdot{}\vektor{-2 \\ 6 \\0}[/mm]
nein, das ist offenbar die zweite (Horizontal-)Ebene, deren Normalenvektor [mm] x_3=1 [/mm] ist.
Diese Ebene verläuft ausschließlich in der x-y-Koordinatenebene, weil z stets =0 ist.
Darum bekommst du unten auch die vielen Nullen heraus.
>
> Alles klar,dann nehme ich deine Ebene H, aber verstehe
> nicht wie du von meiner "alten" Ebene auf diese Ebene
> kommst
Eigentlich gar nicht, weil glie die einfachste Horizontalebene genommen hat.
>
> [mm]H:\vec{x}=\vektor{0\\ 0 \\0}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm]
>
du hattest schon ermittelt (ich hab's nicht nachgerechnet):
$E: [mm] \vec{x}=\vektor{8 \\ 4 \\0}+r\cdot{}\vektor{-4 \\ 2 \\0}+s\cdot{}\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\2} [/mm] $
Betrachte nun die beiden Ebenen E und H und berechne deren Schnittwinkel.
>
> Da das Winkel zwischen 2 Ebenen ist,wende ich diese Formel
> also mit Normalenvektoren an:
>
> [mm]\cos(\alpha)=\bruch{\vec{n_{1}}\cdot{}\vec{n_{2}=}}{|\vec{n_{1}}|\cdot{}|\vec{n_{2}}|}[/mm]
>
> Nun berechne ich den ersten Normalenvektor von der Ebene:
> [mm]n_{1}*\vektor{2 \\ 4 \\0}=0[/mm]
> [mm]n_{2}*\vektor{-2 \\ 6 \\0}=0[/mm]
>
> Ich komme so auf die [mm]Matrix\vmat{ 2 & 4 \\ -2 & 6 }\vmat{0 \\ 0 }[/mm]
>
> Ich rechne die zweite + die erste Spalte:
> [mm]\vmat{ 2 & 4 \\ 0 & 10 }\vmat{0 \\ 0 }[/mm]
>
> Also ist 10x=0 ; x ist also 0.
> Setze ich dies nun in die erste Spalte ein:
> 2x1=0
> x1=0
>
> x3 wäre dann also auch 0,also besteht [mm]n_{1}[/mm] nur aus 0en.
>
> Der zweite Normalenvektor müsste dann doch nicht mehr
> ausgerechnet werden,da bei der Formel eh 0 rauskommen
> würde.
>
>
> Ich glaub ich hab nen Fehler gemacht:P
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:47 Fr 27.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Also berechne ich den Normalenvektor von $ E: [mm] \vec{x}=\vektor{8 \\ 4 \\0}+r\cdot{}\vektor{-4 \\ 2 \\0}+s\cdot{}\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\2} [/mm] $
[mm] n_{1}*\vektor{-4 \\ 2 \\0}=0
[/mm]
[mm] n_{2}*\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\ 2}=0
[/mm]
Das packen wir in eine Matrix:
[mm] \vmat{-4 & 2 &0 \\ -2,3 & -3,4 &0}\vmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
Ich nehme die zweite Spalte mal 1 [mm] \bruch{17}{23}
[/mm]
[mm] \vmat{-4 & 2 & 0\\ -4 & -5 \bruch{21}{23} & 0}\vmat{ 0 \\ 0 } [/mm]
II - I ergibt:
[mm] \vmat{-4 & 2 &0\\ 0 & -7 \bruch{21}{23} &0}\vmat{ 0 \\ 0 } [/mm]
-7 [mm] \bruch{21}{23} x_{2}=0
[/mm]
[mm] x_{1,2,3} [/mm] sind also gleich 0 .
Und [mm] n_{1} [/mm] ist [mm] \vmat{0\\ 0 \\0}
[/mm]
$ [mm] H:\vec{x}=\vektor{0\\ 0 \\0}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\0} [/mm] $
Hier kommen wir auf die Matrix:
[mm] \vmat{1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0}\vmat{ 0 \\ 0 }
[/mm]
Also wäre doch Und [mm] n_{2} [/mm] auch [mm] \vmat{0\\ 0 \\0}
[/mm]
Von daher: Wo ist der Fehler?
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Hallo Candoo,
> Also berechne ich den Normalenvektor von [mm]E: \vec{x}=\vektor{8 \\ 4 \\0}+r\cdot{}\vektor{-4 \\ 2 \\0}+s\cdot{}\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\2}[/mm]
>
> [mm]n_{1}*\vektor{-4 \\ 2 \\0}=0[/mm]
> [mm]n_{2}*\vektor{-2,2 \\ -3,4 \\ 2}=0[/mm]
>
> Das packen wir in eine Matrix:
> [mm]\vmat{-4 & 2 &0 \\ -2,3 & -3,4 &0}\vmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
hier steckt der Fehler:
[mm]\vmat{-4 & 2 &0 \\ -2,3 & -3,4 &\red{2}}\vmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
> Ich
> nehme die zweite Spalte mal 1 [mm]\bruch{17}{23}[/mm]
rechne lieber ohne Brüche, indem du die zweite Zeile mit 10 multipizierst! 
> [mm]\vmat{-4 & 2 & 0\\ -4 & -5 \bruch{21}{23} & 0}\vmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
> II - I ergibt:
> [mm]\vmat{-4 & 2 &0\\ 0 & -7 \bruch{21}{23} &0}\vmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> -7 [mm]\bruch{21}{23} x_{2}=0[/mm]
> [mm]x_{1,2,3}[/mm] sind also gleich 0 .
> Und [mm]n_{1}[/mm] ist [mm]\vmat{0\\ 0 \\0}[/mm]
>
>
> [mm]H:\vec{x}=\vektor{0\\ 0 \\0}+r\cdot{}\vektor{1 \\ 0 \\0}+s\cdot{}\vektor{0 \\ 1 \\0}[/mm]
>
> Hier kommen wir auf die Matrix:
> [mm]\vmat{1 & 0 &0 \\ 0 & 1 &0}\vmat{ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> Also wäre doch Und [mm]n_{2}[/mm] auch [mm]\vmat{0\\ 0 \\0}[/mm]
>
> Von daher: Wo ist der Fehler?
>
Ich erhalte (zur Kontrolle): [mm] n_2=2n_1 [/mm] und [mm] n_3=\bruch{9}{2}n_1 \Rightarrow [/mm] setze [mm] n_1=2 \Rightarrow \vec{n}=\vektor{2\\4\\9}
[/mm]
[keine Garantie auf Rechenfehler!]
Gruß informix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:28 So 29.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Also hätten wir:
[mm] \vektor{2\\4\\9} [/mm] und [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
Der Nenner wäre also 0 und der Zähler ebenfalls?!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:18 Mo 30.11.2009 | | Autor: | glie |
Der einfachste Normalenvektor der [mm] x_1-x_2- [/mm] Ebene ist doch einfach der Vektor
[mm] $\vektor{0 \\ 0 \\ 1}$.
[/mm]
Das brauchst du doch eigentlich nicht extra berechnen.
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:29 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Candoo |
Also haben wir Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{2\\4\\9}
[/mm]
Im Zähler steht dann 9 und im Nenner: 1*101
cosinus von [mm] \bruch{9}{1*\wurzel{101}}
[/mm]
Der Winkel wäre also 26°?
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Hallo Candoo,
> Also haben wir Vektor [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 1}[/mm] und
> [mm]\vektor{2\\4\\9}[/mm]
>
> Im Zähler steht dann 9 und im Nenner: 1*101
> cosinus von [mm]\bruch{9}{1*\wurzel{101}}[/mm]
>
> Der Winkel wäre also 26°?
ja!
Gruß informix
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