Neuer Satz oder Trivialität ? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:13 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
Beim Spielen mit Zahlen ist mir Folgendes aufgefallen, was mir ein interessanter Zusammenhang zu sein scheint :
k sei eine beliebige natürliche Zahl.
[mm] c_k [/mm] sei der Wert des unendlichen Kettenbruches $ [mm] c_k [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+..}}}} [/mm] $
Die Folge [mm] (x_n) [/mm] sei definiert durch [mm] x_n [/mm] = [mm] [n*c_k] [/mm] , wobei [..] den ganzzahligen Anteil bildet.
Beispiel : Für k=2 ergibt sich [mm] c_2 [/mm] = 1,4142.. und die ersten Folgenglieder von [mm] (x_n) [/mm] sind
n : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ...
x : 1 2 4 5 7 8 9 11 12 14 15 16 18 19 21 22 24 ...
Die Folge [mm] (y_n) [/mm] bestehe nun aus denjenigen natürlichen Zahlen, die in der Folge der [mm] x_n [/mm] nicht vorkommen.
Im Beispiel k=2 also
y : 3 6 10 13 17 20 23 ...
Nun sieht es so aus, als ob für [mm] y_n [/mm] die explizite Darstellung [mm] y_n [/mm] = 2n + [mm] x_n [/mm] gelten würde. Ich glaube, dass das immer so ist, also die
Sax'sche Vermutung
Für alle natürlichen Zahlen k gilt :
Für alle natürlichen Zahlen n gilt : $ [mm] y_n [/mm] = k*n + [mm] x_n [/mm] $.
Leider kann ich die nicht für ein einziges k beweisen oder widerlegen.
Ich habe ![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") hier eine Excel-Tabelle zum Ausprobieren angehängt.
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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Hi Sax ,
wirklich interessant - und ziemlich seltsam !
Ich habe nur erst mal Formeln aufgestellt:
$\ [mm] c_k\ [/mm] =\ [mm] \frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}+1$
[/mm]
$\ [mm] x_n\ [/mm] =\ [mm] \lfloor n*c_k \rfloor$ [/mm] (eigentlich x(k,n) !)
Und nun müsste man sich um jene natürlichen Zahlen
kümmern, welche in der Folge [mm] [/mm] nicht vorkommen.
Es gilt zunächst [mm] 1
Die Folge [mm] [/mm] ist eine arithmetische Folge mit
der konstanten Differenz [mm] c_k [/mm] . Die daraus durch Abrunden
der einzelnen Glieder entstehende Folge [mm] [/mm] hat
deshalb folgende Eigenschaften:
1.) sie ist monoton steigend und hat nur Werte in [mm] \IN
[/mm]
2.) ihre Differenzenfolge enthält nur die Werte 1 und 2
(es gilt stets entweder [mm] x_{n+1}=x_n+1 [/mm] oder [mm] x_{n+1}=x_n+2 [/mm] )
3.) Die Elemente der Folge [mm] [/mm] sind (bei gegebenem k)
genau die Elemente der Menge
[mm] $\{\ n\in\IN\ |\ \exists k\in\IN\ :\ \ x_k
Das ist, was ich mir bisher so etwa überlegt habe ...
Der Nachweis der Formel und der Eigenschaften der
Folge ergäbe eine nette kleine Übungsaufgabe ...
LG , Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:19 Mi 06.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
wie kommst du auf [mm] $\frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}+1$ [/mm] ?
Ich bin wie folgt vorgegangen :
Die 1 in $ [mm] c_k [/mm] = 1 + [mm] \frac{1}{k+\frac{1}{k+\frac{1}{k+\frac{1}{k+..}}}} [/mm] $
auf die linke Seite bringen.
Als nächstes (bei diesem Schritt bin ich mir ein wenig unsicher) :
Für größerwerdende Iteration muß ja gelten, dass ich $k$ durch [mm] $\frac{1}{k+1}$
[/mm]
ersetzen kann, also gilt : [mm] $k=\frac{1}{k+1}$
[/mm]
Nach einer kurzen Umformung komme ich zu dem Zwischenergebnis
[mm] $k^2+k-1=0$. [/mm] Mit p,q (die negative Lösung lasse ich aus) ergibt das :
[mm] $k_1=-\frac{k}{2}+\frac{\sqrt{k^2+4}}{2} [/mm] = [mm] \frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}$ [/mm] und mit 1 zurück auf die rechte Seite addiert, erhalte ich
[mm] $c_k=\frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}+1$
[/mm]
Ist das eine gültige Herleitung?
Wie auch immer werde ich dran bleiben.
Gruß
Kai
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> wie kommst du auf [mm]\frac{\sqrt{k^2+4}-k}{2}+1[/mm] ?
>
> Ich bin wie folgt vorgegangen :
>
> Die 1 in [mm]c_k = 1 + \frac{1}{k+\frac{1}{k+\frac{1}{k+\frac{1}{k+..}}}}[/mm]
>
> auf die linke Seite bringen.
>
> Als nächstes (bei diesem Schritt bin ich mir ein wenig
> unsicher) :
> Für größerwerdende Iteration muß ja gelten, dass ich [mm]k[/mm]
> durch [mm]\frac{1}{k+1}[/mm]
> ersetzen kann, also gilt : [mm]k=\frac{1}{k+1}[/mm]
>
> Nach einer kurzen Umformung komme ich zu dem
> Zwischenergebnis
>
> [mm]k^2+k-1=0[/mm]. ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
dies wäre ja eine Gleichung, um k-Werte (aber kein [mm] c_k)
[/mm]
zu berechnen !
Hi Kai ,
man kann die Kettenbruchgleichung
[mm]c_k = 1 + \frac{1}{k+\frac{1}{k+\frac{1}{k+\frac{1}{k+..}}}}[/mm]
auch so schreiben:
[mm]c_k = 1 + \frac{1}{(k-1)+c_k}[/mm]
Die Auflösung dieser Gleichung nach [mm] c_k [/mm] führt auf die
angegebene Lösung. Dabei muss man noch darauf achten,
von den beiden möglichen Lösungen die richtige,
nämlich die positive, zu wählen.
LG , Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 06.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwirizmi,
> [mm]c_k = 1 + \frac{1}{(k-1)+c_k}[/mm]
>
> Die Auflösung dieser Gleichung nach [mm]c_k[/mm] führt auf die
> angegebene Lösung.
Ich habe die Kettenbruchersetzung über einige Stufen
durchgeführt. Es scheint zu stimmen. Ich wäre aber alleine
nicht drauf gekommen. Ich kann aber nachvollziehen, dass
sie (die Kettenbruchersetzung) im Unendlichen gegen
$ [mm] c_k [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+..}}}} [/mm] $ konvergiert.
Gruß
Kai
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> > [mm]c_k = 1 + \frac{1}{(k-1)+c_k}[/mm]
> >
> > Die Auflösung dieser Gleichung nach [mm]c_k[/mm] führt auf die
> > angegebene Lösung.
>
> Ich habe die Kettenbruchersetzung über einige Stufen
> durchgeführt. Es scheint zu stimmen. Ich wäre aber
> alleine
> nicht drauf gekommen. Ich kann aber nachvollziehen, dass
> sie (die Kettenbruchersetzung) im Unendlichen gegen
>
> [mm]c_k = 1 + \bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+...}}}}[/mm]
> konvergiert.
>
> Gruß
> Kai
Es ist gar nicht nötig, die Ersetzung über mehrere
Stufen hinweg zu verfolgen. Es genügt, zu sehen,
dass im Nenner der rechten Seite praktisch der
Definitionsterm von [mm] c_k [/mm] (also der gesamte Term
der rechten Seite) wieder drin steckt. Man muss
dazu nur minimal "tricksen":
[mm]c_k\ =\ 1 + \bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+...}}}}[/mm]
[mm]=\ 1 + \bruch{1}{(k-1)+\red{1+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+\bruch{1}{k+...}}}}}[/mm]
[mm]=\ 1 + \bruch{1}{(k-1)+\red{c_k}[/mm]
Wenn wir die Konvergenz des Kettenbruches voraus-
setzen dürfen, spielt es keine Rolle, ob die Pünktchen
am Ende (rechts unten) für [mm] \infty [/mm] viele oder für " [mm] \infty-1 [/mm] "
viele weitere Brüche stehen ...
(sorry alle Pedanten - das war jetzt eine sehr naive
Ausdrucksweise ...  )
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:18 Mi 06.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
vielen Dank für Deine Erläuterung. Was würde wohl
Ramajunan zu meinem Wissen bzw. Mangel an dessen
sagen?
A propos : Bei all seinen Errungenschaften auf dem
Gebiet der Kettenbrüche unterliefen ihm kurioserweise
immer mal wieder Fehler.
Ramajunan kennst Du doch, oder?
Eigentlich sehr naheliegend und leicht verständlich
dein "tricksen". Es erinnert mich spontan an Spiegel
in Spiegel im Drei-Flügel-Badschrank.
Gruß
Kai
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> Hallo Al-Chwarizmi,
>
> vielen Dank für Deine Erläuterung. Was würde wohl
> Ramajunan zu meinem Wissen bzw. Mangel an dessen
> sagen?
>
> A propos : Bei all seinen Errungenschaften auf dem
> Gebiet der Kettenbrüche unterliefen ihm kurioserweise
> immer mal wieder Fehler.
>
> Ramajunan kennst Du doch, oder?
>
> Eigentlich sehr naheliegend und leicht verständlich
> dein "tricksen". Es erinnert mich spontan an Spiegel
> in Spiegel im Drei-Flügel-Badschrank.
>
> Gruß
> Kai
Guten Abend !
Ramajunan kenne ich nicht, aber über ![[]](/images/popup.gif) Ramanujan
habe ich schon einiges gelesen. Der Mann muss
unheimlich viel gearbeitet haben. Und du kennst
ja vielleicht auch den Spruch:
Wer arbeitet, macht Fehler. Wer viel arbeitet,
macht mehr Fehler. Wer keine Fehler macht,
ist ein fauler Hund !
LG , Al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Mi 06.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Al-Chwarizmi,
Natürlich hieß der gute Mann - den ich meinte - Ramanujan.
Mein Fehler. Es klang doch gleich so falsch.
>
> Wer arbeitet, macht Fehler. Wer viel arbeitet,
> macht mehr Fehler. Wer keine Fehler macht,
> ist ein fauler Hund !
>
*g*
Gruß
Kai
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Hier noch eine weitere Excel-Tabelle, bei der eine
Serie von k-Werten auf einmal durchgespielt werden
kann:
Tabelle
LG
Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: xls) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Mi 06.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi Al,
meine Tabelle ist auch so gemacht, dass man in die rot markierte Zelle verschiedene k-Werte eintragen kann, aber man kann sie natürlich nicht alle gleichzeitig sehen.
Vielen Dank für deine Mühe.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:26 Mi 06.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Sax,
ich habe mal ein kleines Programm geschrieben und
kann Dir versichern, dass Deine Gleichheit gültig ist
für [mm] $k\in[1,20]$ [/mm] und $n=10.000.000$
Mit einem Beweis kann ich leider nicht aufwarten, aber
die Computer-Daten sind vielversprechend 
Gruß
Kai
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> Hallo Sax,
>
> ich habe mal ein kleines Programm geschrieben und
> kann Dir versichern, dass Deine Gleichheit gültig ist
> für [mm]k\in[1,20][/mm] und [mm]n=10.000.000[/mm]
>
> Mit einem Beweis kann ich leider nicht aufwarten, aber
> die Computer-Daten sind vielversprechend
>
> Gruß
> Kai
Naja, zu den "Gläubigen" des "Theorems von Sax"
zähle ich mich ja auch schon - aufgrund wesentlich
geringeren Datenmaterials - aber zu einem wirklichen
"Theorem" gehört nun mal in der Mathematik zwingend
ein hieb- , stich- und kratzfester und außerdem wasser-,
luft- und säuredichter Beweis.
Die echten Lorbeeren holen sich dabei (natürlich nebst
dem Entdecker) jeweils diejenigen, denen ein solcher
Beweis (möglichst vor anderen) gelingt ...
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:49 Mi 06.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Kai,
> ich habe mal ein kleines Programm geschrieben und
> kann Dir versichern, dass Deine Gleichheit gültig ist
> für [mm]k\in[1,20][/mm] und [mm]n=10.000.000[/mm]
Gute Idee.
Welche Stellengenauigkeit hat Dein Programm?
> Mit einem Beweis kann ich leider nicht aufwarten, aber
> die Computer-Daten sind vielversprechend
Kannst Du es noch so modifizieren, dass Du auch größere k untersuchen kannst, ggf. nur bis zu einem kleineren n?
Mich würden z.B. prime Werte von k wie k=47, 101, 209, 421, 853 etc. interessieren.
Nebenbei ist ja [mm] \lim_{k\to\infty}c_k-1-\bruch{1}{k}=0
[/mm]
Interessant sind darum gerade Werte von n, die in unmittelbarer Nähe von Vielfachen von k liegen, jedenfalls für große k.
Grüße
reverend
@Sax: eine interessante Vermutung! Ich sehe auch noch keinen Weg, wie man das beweisen könnte, suche aber vorerst vor allem nach alternativen Formulierungen. Manchmal kommt man ja auch so zu einem Ansatz.
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guten Abend (oder ne, Morgen) alle miteinander,
Da es schon recht spät ist, kriege ich leider heute keinen Beweis mehr fertig, aber damit ggf. jemand anders was damit anfangen kann, hier soweit meine Ideen zum Problem:
(Im Folgenden $k [mm] \in \IN$ [/mm] beliebig, aber fest)
Als erstes erweitere ich die Folge [mm] $(x_n)$ [/mm] zu einer reellwertigen Funktion $f: [mm] \IR_{\geq 0} \to \IR, \, [/mm] x [mm] \mapsto c_k*x$.
[/mm]
Dies ist einfach eine Gerade mit Steigung [mm] $c_k [/mm] > 0$, was für festes $k$ ja nur eine (feste!) reelle Zahl ist. Damit können wir auch genau sagen, wie die Funktion $[f]$ (abgerundet) aussieht. Es ist nämlich $f(0)=0, [mm] $f(\frac{1}{c_k}) [/mm] = 1, [mm] $f(\frac{2}{c_k}) [/mm] = 2$, etc.
Damit ist $[f] [mm] ([\frac{m}{c_k},\frac{m+1}{c_k}) [/mm] ) = m$ (beachte: halboffenes Intervall) für alle $m [mm] \in \IN_0$.
[/mm]
Anders ausgedrückt ist $[f(x)] = m$ genau dann, wenn [mm] $\frac{m}{c_k} \leq [/mm] x < [mm] \frac{m+1}{c_k}$.
[/mm]
Nun können wir uns auf die Suche nach den [mm] $y_n$ [/mm] machen:
Dies sind gerade die $m [mm] \in \IN$, [/mm] die nicht in [mm] $[f](\IN)$ [/mm] liegen, also die $m [mm] \in \IN$, [/mm] für die es kein $n [mm] \in \IN$ [/mm] gibt mit [mm] $\frac{m}{c_k}\leq [/mm] n < [mm] \frac{m+1}{c_k}$.
[/mm]
Oder nochmal anders:
Die [mm] $y_n$ [/mm] sind genau die natürlichen Zahlen $n$, für die gilt:
[mm] $[\frac{n}{c_k}] [/mm] = [mm] [\frac{n+1}{c_k}]$.
[/mm]
Damit hängt das Problem der Bestimmung der [mm] $y_n$ [/mm] jetzt nur noch von [mm] $c_k$ [/mm] ab, wir müssen nicht mehr die Folge [mm] $x_n$ [/mm] komplett aufstellen und gucken, welche Werte fehlen.
Ich hoffe, jemand kann mit meinen Ansätzen etwas anfangen.
Ich werde falls ich morgen Zeit finde auch noch ein wenig daran basteln, mal gucken, ob noch was dabei rumkommt.
lg
Schadow
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:35 Do 07.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Schadow,
> Die [mm]y_n[/mm] sind genau die natürlichen Zahlen [mm]n[/mm], für die
> gilt:
> [mm][\frac{n}{c_k}] = [\frac{n+1}{c_k}][/mm].
Das macht schonmal einen guten Eindruck. Zumal so auch die Frage entsteht, ob es noch andere [mm] c_k [/mm] gibt, für die das gilt - nicht nur die anfangs definierten Kettenbrüche.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:17 Do 07.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
nur um mal zu sehen, ob das auch für nicht-ganzzahlige Werte von k geht, habe ich ein paar durchprobiert.
Für [mm]k=2,5[/mm] stimmt die Vermutung aber z.B. für [mm]n=5[/mm] und [mm]n=11[/mm] nicht.
Zurück zu Schadows Umformulierung:
> > Die [mm]y_n[/mm] sind genau die natürlichen Zahlen [mm]n[/mm], für die
> > gilt:
> > [mm][\frac{n}{c_k}] = [\frac{n+1}{c_k}][/mm].
Postuliert war ja, dass [mm] y_n=k*n+\lfloor n*c_k\rfloor [/mm] ist.
Damit wäre also zu zeigen, dass für alle positiven n gilt:
[mm] \left\lfloor\bruch{k*n+\lfloor n*c_k\rfloor}{c_k}\right\rfloor= \left\lfloor\bruch{k*n+\lfloor n*c_k\rfloor+1}{c_k}\right\rfloor
[/mm]
Mit der verschachtelten Gaußklammer dürfte das schwer zu zeigen sein, jedenfalls kann man kaum von einer Trivialität sprechen.
kleiner Nachtrag:
Al hatte schon darauf hingewiesen, dass außerdem
[mm] c_k=1-\bruch{k}{2}+\wurzel{\bruch{k^2}{4}+1}
[/mm]
gilt, bzw. wie man zu dieser kettenbruchfreien Darstellung kommt.
Grüße
reverend
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> Hallo nochmal,
>
> nur um mal zu sehen, ob das auch für nicht-ganzzahlige
> Werte von k geht, habe ich ein paar durchprobiert.
(das macht wohl eher wenig Sinn)
> Zurück zu Schadows Umformulierung:
>
> > > Die [mm]y_n[/mm] sind genau die natürlichen Zahlen [mm]n[/mm], für die
> > > gilt:
> > > [mm][\frac{n}{c_k}] = [\frac{n+1}{c_k}][/mm].
>
> Postuliert war ja, dass [mm]y_n=k*n+\lfloor n*c_k\rfloor[/mm] ist.
>
> Damit wäre also zu zeigen, dass für alle positiven n
> gilt:
>
> [mm]\left\lfloor\bruch{k*n+\lfloor n*c_k\rfloor}{c_k}\right\rfloor= \left\lfloor\bruch{k*n+\lfloor n*c_k\rfloor+1}{c_k}\right\rfloor[/mm]
> Mit der verschachtelten Gaußklammer dürfte das schwer zu
> zeigen sein, jedenfalls kann man kaum von einer
> Trivialität sprechen.
Dass es überhaupt so klappt, liegt natürlich schon an
der recht speziellen Konstruktion der [mm] c_k [/mm] !
Man kann sich aber vorstellen, dass für andere Werte
einer Konstanten c (anstelle der [mm] c_k) [/mm] ähnliche (aber
eben etwas anders geartete) Gesetzmäßigkeiten
gelten könnten, z.B.
$\ [mm] y_n\ [/mm] =\ [mm] x_n+2*n+1$
[/mm]
Nun könnte man sich überlegen, welchen Wert man
für c nehmen müsste, oder besser: welches genaue
Bildungsgesetz für die [mm] x_n [/mm] , um gerade dieses Gesetz
für die [mm] y_n [/mm] (als Funktion von n und [mm] x_n) [/mm] zu erhalten ...
LG , Al
Lösung:
ich denke, es passt, wenn man $\ [mm] x_n\, [/mm] :=\ [mm] \left\lfloor \left(n+\frac{1}{2}\right)*\sqrt{2}\, \right\rfloor\,-\,1$ [/mm] setzt
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So, ich habe gestern noch eine kleine Kleinigkeit bei meiner Umformulierung vergessen.
Das ganze geht natürlich nur dann gut, wenn [mm] $\frac{m}{c_k}$ [/mm] für alle $k,m [mm] \in \IN$ [/mm] nicht ganzzahlig ist, denn sonst könnte [mm] $[\frac{m}{c_k}] [/mm] = [mm] [\frac{m+1}{c_k}]$ [/mm] sein und trotzdem liegt eine natürliche Zahl dazwischen (nur eben nicht echt dazwischen).
Damit [mm] $\frac{m}{c_k}$ [/mm] ganzzahlig ist für ein $m [mm] \in \IN$, [/mm] muss [mm] $c_k$ [/mm] rational sein.
Beachten wir Al's Formel so ergibt sich, dass dafür [mm] $\sqrt{k^2+4}$ [/mm] rational, also (da [mm] $k^2+4$ [/mm] ganz ist) ganz sein muss.
Damit müsste aber [mm] $2c_k$ [/mm] ganzzahlig sein, was wegen [mm] $1
Also sind alle [mm] $c_k$ [/mm] irrational und meine Aussage stimmt noch.
Wenn man es verallgemeinern möchte würde ich folgendes vorschlagen:
Sei $a [mm] \in \IR$ [/mm] irrational.
Definiere die Menge $X := [mm] \{m \in \IN \mid [\frac{m}{a}] \neq [\frac{m+1}{a}] \}$, [/mm] $Y := [mm] \{ m \in \IN \mid [\frac{m}{a}] = [\frac{m+1}{a}] \}$.
[/mm]
Dann bilden klarerweise $X,Y$ eine Zerlegung von [mm] $\IN$, [/mm] das heißt $X [mm] \cup [/mm] Y = [mm] \IN$, [/mm] $X [mm] \cap [/mm] Y = [mm] \emptyset$.
[/mm]
Es gilt jetzt, einen Zusammenhang zwischen den Elementen aus $X$ und denen aus $Y$ zu finden.
Das könnte allerdings etwas viel zu allgemein sein, sodass man damit nicht mehr so viel anfangen kann.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:36 Do 07.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi Reverend, Al, Schadowmaster und alle anderen
meine eigenen Überlegungen gingen in folgende Richtung :
Für festes k führe ich zur Schreibvereinfachung folgende Bezeichnungen ein :
[mm] x_n [/mm] = [mm] \lfloor n*c_k \rfloor [/mm] , X = [mm] \{x_n | n \in \IN\} [/mm] , [mm] y_n [/mm] : n-te "Lückenzahl"
[mm] z_n [/mm] = [mm] n*k+x_n [/mm] , Z = [mm] \{z_n | n \in \IN\}
[/mm]
[mm] z_n [/mm] lässt sich noch in folgender Form schreiben :
[mm] z_n [/mm] = [mm] n*k+x_n [/mm] = [mm] n*k+\lfloor n*c_k \rfloor [/mm] = [mm] \lfloor n*k+n*c_k \rfloor [/mm] = [mm] \lfloor n*(k+c_k) \rfloor [/mm] = [mm] \lfloor n*d_k \rfloor [/mm] mit [mm] d_k [/mm] = [mm] k+c_k
[/mm]
(und wegen der Darstellung [mm] c_k=\bruch{\wurzel{k^2+4}-k}{2}+1 [/mm] ergibt sich bemerkenswerterweise [mm] d_k=\bruch{\wurzel{k^2+4}+k}{2}+1)
[/mm]
Zu zeigen wäre dann, dass [mm] y_n [/mm] = [mm] z_n [/mm] gilt.
Wegen der Monotonie der Folgen ist dies gleichwertig damit, zu zeigen, dass X [mm] \cup [/mm] Z = [mm] \IN [/mm] und X [mm] \cap [/mm] Z = [mm] \emptyset [/mm] ist.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Zu zeigen ist also, dass zwischen irgend zwei benachbarten natürlichen Zahlen j und j+1 immer entweder genau ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] c_k [/mm] oder genau ein ganzzahliges Vielfaches von [mm] d_k [/mm] liegt. (Irrationalität von [mm] c_k, d_k [/mm] verwendet)
Hierbei kann "genau" durch "mindestens" ersetzt werden, weil sich "höchsens" aus [mm] c_k>1 [/mm] , [mm] d_k>1 [/mm] ergibt.
Also entweder gibt es zu einer Zahl j ein [mm] n\in\IN [/mm] mit j < [mm] n*c_k [/mm] < j+1, dann ist zu zeigen, dass es kein [mm] m\in\IN [/mm] geben kann mit j < [mm] m*d_k [/mm] < j+1
oder es ist [mm] n*c_k [/mm] < j < j+1 < [mm] (n+1)*c_k [/mm] , dann ist zu zeigen, dass es ein [mm] m\in\IN [/mm] gibt mit j < [mm] m*d_k [/mm] < j+1
"Bleibt" die Frage : wie ?
Gruß Sax.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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> Hi Reverend, Al, Schadowmaster und alle anderen
>
> meine eigenen Überlegungen gingen in folgende Richtung :
> Für festes k führe ich zur Schreibvereinfachung folgende
> Bezeichnungen ein :
> [mm]x_n[/mm] = [mm]\lfloor n*c_k \rfloor[/mm] , X = [mm]\{x_n | n \in \IN\}[/mm] ,
> [mm]y_n[/mm] : n-te "Lückenzahl"
> [mm]z_n[/mm] = [mm]n*k+x_n[/mm] , Z = [mm]\{z_n | n \in \IN\}[/mm]
>
> [mm]z_n[/mm] lässt sich noch in folgender Form schreiben :
> [mm]z_n[/mm] = [mm]n*k+x_n[/mm] = [mm]n*k+\lfloor n*c_k \rfloor[/mm] = [mm]\lfloor n*k+n*c_k \rfloor[/mm]
> = [mm]\lfloor n*(k+c_k) \rfloor[/mm] = [mm]\lfloor n*d_k \rfloor[/mm] mit
> [mm]d_k[/mm] = [mm]k+c_k[/mm]
> (und wegen der Darstellung
> [mm]c_k=\bruch{\wurzel{k^2+4}-k}{2}+1[/mm] ergibt sich
> bemerkenswerterweise [mm]d_k=\bruch{\wurzel{k^2+4}+k}{2}+1)[/mm]
>
> Zu zeigen wäre dann, dass [mm]y_n[/mm] = [mm]z_n[/mm] gilt.
Hallo Sax,
gute Idee, die "Lückenzahlen" [mm] y_n [/mm] und die nach (vermuteter)
Formel berechneten [mm] z_n [/mm] auch durch ihre Bezeichnungen
klar zu unterscheiden. Ich habe zwischendurch [mm] y_n [/mm] geschrieben
für die Werte, die eigentlich [mm] z_n [/mm] heißen sollten.
Ich werde dies korrigieren !
LG , Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:15 Do 07.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Lösung könnte vielleicht einfach sein, wenn man sich ansieht, wie viele Zahlen der Form [mm] n*c_k [/mm] und [mm] m*d_k [/mm] unterhalb einer gewissen natürlichen Zahl i liegen. Das sind doch [mm] \lfloor\bruch{i}{c_k}\rfloor [/mm] bzw. [mm] \lfloor\bruch{i}{d_k}\rfloor [/mm] Stück. Wenn man jetzt zeigen kann, dass deren Summe für alle i immer gleich i-1 ist, sollte man fertig sein.
Die Behauptung ist also äquivalent zur Aussage
Für alle natürlichen Zahlen i und k gilt [mm] \lfloor\bruch{i}{\bruch{\wurzel{k^2+4}-k}{2}+1}\rfloor [/mm] + [mm] \lfloor\bruch{i}{\bruch{\wurzel{k^2+4}+k}{2}+1}\rfloor [/mm] = i - 1
Ich probier' noch 'n bisschen, das hinzufummeln.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:47 Do 07.02.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
hab's geschafft.
Hat lange gedauert, weil ich zuviel mit den Gauß-Klammern rumgerechnet habe, bis mir klar wurde, dass man durch Termumformungen viel einfacher [mm] \bruch{i}{c_k} [/mm] + [mm] \bruch{i}{d_k} [/mm] = i nachweisen kann. Durch Abrunden der einzelnen Summanden nimmt die Summe um genau 1 ab.
War wohl nichts mit dem neuen Satz, schade.
Wenn man weiß wie's geht, ist es (fast) trivial.
Danke an alle, die mir geholfen haben.
Gruß Sax.
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(Frage) überfällig | | Datum: | 16:50 Do 07.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Sax
sorry, dass ich nochmal nachhaken muss.
Die Identität [mm] $\frac{1}{c_k}+\frac{1}{d_k}=1$ [/mm] kann ich leicht nachrechnen. Aber
den Ansatz verstehe ich nicht
Wir wollen ja beweisen, dass [mm] $y_n [/mm] = [mm] z_n$ [/mm] ist. Wie hilft
es uns da weiter, zu bestimmen, wie viele Zahlen der Form
[mm] $n\cdot c_k$ [/mm] bzw. [mm] $m\cdot d_k$ [/mm] unterhalb von i sind?
Und ist [mm] $\lfloor{\frac{i}{c_k}}\rfloor [/mm] = [mm] \#x_n [/mm] | [mm] x_n [/mm] < i$ und [mm] $\lfloor{\frac{i}{d_k}}\rfloor [/mm] = [mm] \#y_n [/mm] | [mm] y_n [/mm] < i$ ?
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:01 Do 07.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
> Hallo Sax
> Und ist [mm]\lfloor{\frac{i}{c_k}}\rfloor = \#x_n | x_n < i[/mm]
> und [mm]\lfloor{\frac{i}{d_k}}\rfloor = \#y_n | y_n < i[/mm] ?
>
muss natürlich heißen :
Und ist [mm]\lfloor{\frac{i}{c_k}}\rfloor = \#n | x_n < i[/mm] und [mm]\lfloor{\frac{i}{d_k}}\rfloor = \#n | y_n < i[/mm] ?
>
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Fr 22.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> War wohl nichts mit dem neuen Satz, schade.
Naja, ein Satz (und ein doch recht interessanter) ist
es allemal. Neu wahrscheinlich auch, denn vermutlich
hat noch kaum sonst jemand diese spezielle Eigenschaft
für diese Folgen festgestellt.
Gruß
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:49 Do 07.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo reverend,
> Welche Stellengenauigkeit hat Dein Programm?
Das Programm hat eine Genauigkeit von 15-16
Nachkommastellen.
> Kannst Du es noch so modifizieren, dass Du auch größere k
> untersuchen kannst, ggf. nur bis zu einem kleineren n?
> Mich würden z.B. prime Werte von k wie k = 47, 101, 209,
> 421, 853 etc. interessieren.
k = 47, 101, 209, 421, 853
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Anmerkung : 209 ist nicht prim [mm] ($209=11\cdot19$).
[/mm]
k = 12345678, 9394251
(jeweils für $n=10.000.000$)
Das Berechnen dauert übrigens für große k nicht
länger als für kleine k.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:04 Do 07.02.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Kai,
ok, danke.
> > Welche Stellengenauigkeit hat Dein Programm?
>
> Das Programm hat eine Genauigkeit von 15-16
> Nachkommastellen.
Das reicht hierfür natürlich aus.
> > Kannst Du es noch so modifizieren, dass Du auch größere k
> > untersuchen kannst, ggf. nur bis zu einem kleineren n?
> > Mich würden z.B. prime Werte von k wie k = 47, 101,
> 209,
> > 421, 853 etc. interessieren.
>
> k = 47, 101, 209, 421, 853
>
>
> Anmerkung : 209 ist nicht prim ([mm]209=11\cdot19[/mm]).
Stimmt. Wars gestern auch schon nicht.
> k = 12345678, 9394251
>
>
> (jeweils für [mm]n=10.000.000[/mm])
>
> Das Berechnen dauert übrigens für große k nicht
> länger als für kleine k.
Gut. Das sieht jedenfalls vielversprechender aus aus nur für k<21.
Vielen Dank nochmal also!
Grüße
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Fr 08.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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