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Newton-Verfahren < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Newton-Verfahren: Frage:
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:05 Do 23.06.2005
Autor: Quintana

Kurze Frage:

Wie ermittel ich ohne TR und probieren die Anfangsnäherung beim Newtonverfahren?

Vielleicht ein Beispiel:

f(x) = [mm] x^{3} [/mm] - [mm] 40x^{2} [/mm] + 640x - 5000 = 0

Ermittelte Nullstelle  [mm] x_{0}= [/mm] 20,78 für  0<x [mm] \le25000 [/mm]

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:40 Do 23.06.2005
Autor: HomerSi

Hallo,
versuch es doch mit dem Horner Schema. Wenn du es nicht kennst, kann ich es dir erklären.
Bezug
                
Bezug
Newton-Verfahren: Horner-Schema nicht sinnvoll
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:45 Do 23.06.2005
Autor: Dreieck

Hi!
Das Hornerschema ist vor allen fein fuer das Abspalten von ganzzahligen Nullstellen. Aber in diesem Fall ist zwar eine Nullstelle gegeben, aber nur ihre ersten 2 Nachkommastellen - die Zahl ist wahrscheinlich nicht [mm]\frac{2078}{100} [/mm].

lG
Peter
Bezug
        
Bezug
Newton-Verfahren: Erklaerung des Verfahrens
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:10 Do 23.06.2005
Autor: Dreieck

Hi!

Also, die Idee des Newton-Verfahrens ist es, eine (mittels Rekursion) Annaeherung an eine Nullstelle einer Funktion [mm]f(x)[/mm] zu bekommen. Von einem (selbstgewaehlten) Startwert [mm]x_0[/mm] ausgehend legt man eine Tangente vom Punkt [mm]P(x_0,f(x_0)[/mm] an die Kurve der Funktion. Diese Tangente schneidet man nun mit der x-Achse und bekommt somit einen neuen x-Wert [mm]x_1[/mm]. Mit [mm]x_1[/mm] verfaehrt man nun genauso wie mit [mm]x_0[/mm] und erhaelt so [mm]x_2[/mm] ... usw ...
Diese so erhaltenen x-Werte sollten sich nun immer mehr einer Nullstelle annaehern (haengt natuerlich von dem Startwert [mm]x_0[/mm] und der Funktion selber ab). Falls die x-Werte divergieren (sich also keinem Wert annaehern) nimmt man am besten einen anderen Startwert, oder versucht ein anderes Verfahren :-)

Wenn du dir diese Schritte ueberlegst und versuchst diese mathematisch umzusetzen (wobei du fuer die Steigung der Tangente an der Stelle [mm]x_i[/mm] die Ableitung [mm]f'(x_i)[/mm] verwendest) solltest du auf diese Rekursion kommen (am besten selbst nachrechnen, falls ich mich vertan hab, oder im netz nachgoogeln):

[mm]x_1:=x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} [/mm]
[mm]x_2:=x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} [/mm]
[mm]x_3:=x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} [/mm]
...
also
[mm]x_i:=x_{i-1} - \frac{f(x_{i-1})}{f'(x_{i-1})} [/mm]

also brauchst du erst mal [mm]f'(x)[/mm]
und dann immer wieder in die obige Rekursion einsetzen, solange bis du den Wert fuer genau genug empfindest, oder dir das ganze zu zach (=muehsam) wird :-)

als Startwert [mm]x_0[/mm] kannst du ja mal 20 probieren (oder 0 wenn du genug Geduld hast :-), oder was auch immer).

lG
Peter

Bezug
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