www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Lineare Gleichungssysteme" - Newton-Verfahren
Newton-Verfahren < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Newton-Verfahren: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:29 Fr 02.03.2012
Autor: paula_88

Aufgabe
Die Nullstellen folgender Funktionen sollen durch das Newton-Verfahren approximiert werden:
x²+2y²-4=0
2x²+5y²-9=0

Hallo an alle,
ich habe bereits eine Lösung für die obige Aufgabe, verstehe eines allerdings nicht.

Zur Berechnung der Newton-Verfahrens benötigt man ja folgende Gleichungen:
i) [mm] J(x_{k},y_{k})(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=-(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T} [/mm]
ii) [mm] (x_{k+1},y_{k+1})=(x_{k},y_{k})+(\Delta x_{k}, \Delta y_{k}) [/mm]
Der erste Schritt sieht dann wie folgt aus:

[mm] \pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 10 }(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=\vektor{1 \\ 2} [/mm]

Was ich daran nicht verstehe ist, wie [mm] -(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 2} [/mm] zustande kommt.
Könnte mir das bitte jemand erläutern?

Vielen Dank!!!



        
Bezug
Newton-Verfahren: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:47 Fr 02.03.2012
Autor: MathePower

Hallo paula_88,

> Die Nullstellen folgender Funktionen sollen durch das
> Newton-Verfahren approximiert werden:
>  x²+2y²-4=0
>  2x²+5y²-9=0
>  Hallo an alle,
>  ich habe bereits eine Lösung für die obige Aufgabe,
> verstehe eines allerdings nicht.
>  
> Zur Berechnung der Newton-Verfahrens benötigt man ja
> folgende Gleichungen:
>  i) [mm]J(x_{k},y_{k})(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=-(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T}[/mm]
>  
> ii) [mm](x_{k+1},y_{k+1})=(x_{k},y_{k})+(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})[/mm]
>  
> Der erste Schritt sieht dann wie folgt aus:
>  
> [mm]\pmat{ 2 & 4 \\ 4 & 10 }(\Delta x_{k}, \Delta y_{k})^{T}=\vektor{1 \\ 2}[/mm]
>  
> Was ich daran nicht verstehe ist, wie [mm]-(f(x_{k},y_{k}), g(x_{k},y_{k}))^{T}[/mm]
> = [mm]\vektor{1 \\ 2}[/mm] zustande kommt.
>  Könnte mir das bitte jemand erläutern?

>

Die Idee, die dahintersteckt ist, die obige linke Seite Gleichung zu linearisieren.

Sei dazu [mm]F\left(x,y\right)=\pmat{x^{2}+y^{2}-4 \\ 2x^{2}+5*y^{2}-9}[/mm]

Linearisiert man jetzt diese Funktion, so ergibt sich:

[mm]F\left(x,y\right)=F\left(x_{0},y_{0}\right)+F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)[/mm]

Um die Nullstellen zu ermitteln, wird [mm]F\left(x,x\right)=\vec{0}[/mm] gesetzt.

Daraus entsteht dann das Gleichungssystem

[mm]\vec{0}=F\left(x_{0},y_{0}\right)+F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(x-x_{0}\right)+F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)*\left(y-y_{0}\right)[/mm]

oder in Matrixschreibweise:

[mm]\vec{0}=F\left(x_{0},y_{0}\right)+\pmat{F_{x}\left(x_{0},y_{0}\right) & F_{y}\left(x_{0},y_{0}\right)}*\pmat{x-x_{0} \\ y-y_{0}}[/mm]

Daraus ergibt sich das in ii) genannte Gleichungssystem.


> Vielen Dank!!!
>  


Gruss
MathePower  

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Gleichungssysteme"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de