Newton Verfahren < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:25 Sa 23.06.2007 | | Autor: | polyurie |
| Aufgabe | Zu untersuchen ist das Nullstellenverhalten der Funktion [mm] f_{x}=e^{-x}-sinx
[/mm]
b) Gesucht ist im folgenden ein Näherungswert für die kleinste positive Nullstelle von [mm] f_{x}. [/mm] Eignet sich der Startwert [mm] x_{0}=0, [/mm] um genau diese Nullstelle mit Hilfe des Newton Verfahrens anzunähern? Begründen Sie Ihre Antwort mit Hilfe einer groben x-y-Grafik zur Funktion [mm] f_{x} [/mm] durch eine grobe Skizzierung der Newtonschen Iterationsfolge. |
Hallo,
die Aufgabe besteht eigentlich aus mehreren Teilaufgaben. Probleme macht mir nur b). Habe eine Skizze angefertigt, bestehend aus sin(x) und [mm] e^{-x}. [/mm] Die beiden Graphen schneiden sich grob bei 0,5 (Skizze lieblos mit Bleistift:)).
Woran erkenne ich das der Startwert [mm] x_{0}=0 [/mm] eignet oder auch nicht?? und wie Begründe ich das sauber mit Skizze und so???
Vielen Dank für Eure Hilfe!!
Grüße
Stefan
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Hallo Stefan,
Das  Newton-Verfahren entspricht einer Linearisierung der Funktion f.
1. Im Punkt 0 Tangente anlegen
2. Schnittpunkt mit der x Achse bestimmen
3. Das gleiche für den Schnittpunkt mit der x-Achse wiederholen usw. usf.
Du müßtest dafür aber schon die "richtige Funktion" zeichnen und kannst nicht über die Schnittpunktbestimmung gehen. Dafür ist vllt. ein Funktionenplotter hilfreich (z.B. ![[]](/images/popup.gif) http://www.funkyplot.de/)
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:18 So 24.06.2007 | | Autor: | polyurie |
Hi,
vielen Dank für die schnelle Antwort!! Leider dürfen wir kienen Funktionsplotter verwenden. Kann man das irgendwie von Hand zeichnen?
In der dürftig ausgefallenen Musterlös. (keine Skizze in der Musterlös.) steht folgendes:
b) [mm] x_{0}=0 [/mm] ist [mm] f_{x_{0}}>0. [/mm] Die Funktion ist bis zur ersten Nullstelle monoton fallend und konkav gekrümmt. Daraus ergibt sich eine monoton wachsende Iterationsfolge, die gegen die Nullstelle konvergiert.
MfG
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 24.06.2007 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo Stefan,
Ist vielleicht ein Bißchen "neben dem eigentlichen Thema" aber könntest du nicht das Ergebnis, das dir dein Funktionenplotter liefert, auf eine transparente Folie drucken und davon dann abzeichnen?
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 So 24.06.2007 | | Autor: | polyurie |
Das Problem ist, daß ich keinen Funktionsplotter verwenden darf...
Gruß
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 So 24.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Wie Karl_Pech schon schrieb - es ist egal, ob du f plottest und dann mit der Hand kurz skizzierst, oder f per Hand an 10 Stellen auswertest und dann f zeichnest. Das ist eh was ein Plotter macht, nur schneller und genauer.
Was die Lsg analytisch, also ohne Zeichnung, sagt ist:
i) f(0)>0
ii) f'(x>=0)<0, also sind die nächsten Stützstellen positiv, d.h. man sucht den Fixpunkt rechts von x=0.
Insgesamt ist klar, dass man einen positiven Fixpunkt x* rauskriegt und da man "alles" zwischen 0 und x* abgelaufen hat muss er der kleinste positive sein.
Gruß,
dormant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 24.06.2007 | | Autor: | polyurie |
Hi,
zu ii) f'(x>=0)<0,
f'(x>=0) nimmt aber pos. und neg. Werte an...
Versteh da was nicht. Kann mit das jemand genauer erläutern.
Gruß
Stefan
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Hey du! :)
Kopf nicht hängen lassen. Die Aufgabenstellung hört sich schwieriger an, als sie ist. Also folgendes:
Gesucht: die kleinste positive Nullstelle.
Gegeben: [mm] x_{0}=0 [/mm] und [mm] f_{x}
[/mm]
Was wird hier gesucht? Du hast eine Ableitung gegeben. In dieser Angabe wurde die Funktion f(x) einmal nach x abgeleitet, daher [mm] f_{x}. [/mm] Wenn [mm] f_{x}=0, [/mm] dann herrscht hier ein stationärer Punkt. Warum? [mm] f_{x}=0 [/mm] bedeutet, dass die Steigung der Tangente 0 ist. Die Tangente bezieht sich auf die Funktion f(x).
Okay, gesucht ist aber die kleinste positive Nullstelle, dh gesucht ist die Nullstelle, die [mm] x_{0}=0 [/mm] am nächsten ist. Dh wenn du dir die Funktion f(x) ansiehst, ist damit der erste Nulldurchgang der Funktion gemeint (Nulldurchgang bei einem x>0).
Du kannst nun ein paar "Stichproben" mit den Taschenrechner machen.
Überlege:
Du kannst dir durch Integration von [mm] f_{x} [/mm] die Funktion f(x) ziehen. Die lautet: [mm] y=-e^{-x}+cosx. [/mm]
Analyse:
:: [mm] -e^{-x} [/mm] geht gegen 0 für x ---> [mm] \infty. [/mm] Es ist für x>0 immer negativ.
:: cosx ist periodisch (in radianten denken)
:: Mach Stichproben mit dem Taschenrechner
--> cos(0)=1 und [mm] -e^{-0}=-1
[/mm]
--> cos konvergiert für x>0 gegen 0 (natürlich nur bis zu einem bestimmten x)
--> [mm] -e^{x>0} [/mm] konvergiert gegen 0 (dh wird größer).
--> dort wo cos(x)=0 ist bist du schon zu weit.
--> geh ein kleines stück zurück und definiere dort deinen Startwert für die Iteration.
Ob dein Startwert richtig gewählt ist, kannst du nun folgend überprüfen:
[mm] F'(x)=\bruch{f(x)f''(x)}{f'(x)^{2}}
[/mm]
|F'(x)|<K<1
Dh: mach noch die zweite Ableitung der Funktion, setze dann in F'(x) deinen Startwert ein. Ist das Ergebnis von F'(x) betragsmäßig kleiner 1, dann hast du einen guten Ausgangspunkt und kannst nun die Iteration machen. Du wirst dann früher oder später zum Ziel kommen. Tatsache: Wenn der K<1, dann kommst du auch sicher zum Ziel.
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:27 So 24.06.2007 | | Autor: | Braunstein |
Noch eine kleine Ergänzung:
Wenn cos(x)=0, dann ist der Funktionswert negativ, da [mm] f(x)=-e^{-x}+cosx! [/mm] Info: [mm] -e^{-x} [/mm] wird hier nie positiv.
Gruß, h.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:03 Mo 25.06.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Ja, aber erst nachdem man die Nullstelle erreicht hat. Von f(0) bis f(x*) ist die Neigung der Tangente negativ - jeder nächste Iterationspunkt ist größer als der vorherige.
Gruß,
dormant
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