Newton bei nichtlinearem GLS < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegen sei das nichtlineare Gleichungssystem
F(x) = [mm] \vektor{f_1(x_1,y_1) \\ f_2(x_1,y_1)} [/mm] = [mm] \vektor{2^(x_1) + x_1 - x_2 - 1 \\ x_1 * sin(\pi * x_2)} [/mm] = 0 mit x = [mm] \vektor{x_1\\ x_2}.
[/mm]
Berechnen Sie für den Startvektor x^(0) = [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] mit dem Newton-Verfahren die erste Iterierte x^(1) und den zugehörigen Wert des Funktionenvektors F(x^(1)). |
Das Newtonverfahren als solches für lineare Probleme ist mir klar. Ich frage mich nur, wie ich hier vorzugehen habe? Hat vielleicht jemand eine Idee?
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> Gegen sei das nichtlineare Gleichungssystem
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> F(x) = [mm]\vektor{f_1(x_1,y_1) \\ f_2(x_1,y_1)}[/mm] = [mm]\vektor{2^(x_1) + x_1 - x_2 - 1 \\ x_1 * sin(pi * x_2)}[/mm] = 0
> mit x = [mm]\vektor{x_1\\ x_2}.[/mm]
hier verstehe ich nicht alles: was sollen z.B. die [mm] y_1 [/mm] ?
(mir wäre es übrigens lieber, x und y anstatt [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] zu verwenden)
der Exponent über der 2 muss wohl [mm] x_1 [/mm] sein ?
>
> Berechnen Sie für den Startvektor x^(0) = [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm]
> mit dem Newton-Verfahren die erste Iterierte x^(1) und den
> zugehörigen Wert des Funktionenvektors F(x^(1)).
> Das Newtonverfahren als solches für lineare Probleme ist
> mir klar. Ich frage mich nur, wie ich hier vorzugehen habe?
> Hat vielleicht jemand eine Idee?
Ich habe in Wikipedia nachgeschaut: "Newton-Verfahren im Mehrdimensionalen"
dort steht, dass man folgendermassen vorgeht:
[mm] \vec{x}_{n+1}=\vec{x}_n+\Delta \vec{x}_n
[/mm]
wobei [mm] \Delta \vec{x}_n [/mm] aus der Gleichung [mm] J(\vec{x}_n)*\Delta \vec{x}_n=-f(\vec{x}_n) [/mm] berechnet wird
Dabei ist J die Jordan-Matrix der Abbildung und [mm] \vec{x} [/mm] wäre natürlich der Vektor [mm] \vektor{x\\y}
[/mm]
Alternativ könnte man sich vielleicht ein "Tandem"-Verfahren vorstellen,
bei dem man das gewöhnliche eindimensionale Newtonverfahren
abwechselnd in x-Richtung und in y-Richtung anwendet (und dabei
jeweils die andere Variable konstant hält). So würde ich jedenfalls
vorgehen, wenn ich das Verfahren programmieren müsste. Es erspart
einem das Auflösen einer Matrixgleichung und ist wohl praktisch etwa
eben so gut.
LG al-Chwarizmi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:57 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Es gibt das sogenannte "vereinfachte " Newtonverfahren:
Sei a [mm] \in R^n, [/mm] r>0, A eine invertierbare nxn- Matrix, [mm] B_{r}(a) [/mm] die offene Kugel um a mit Radius r und
f: [mm] B_{r}(a) [/mm] --> [mm] R^n [/mm] eine Funktion.
Weiter sei
F(x):= [mm] x-A^{-1}f(x) [/mm] (x [mm] \in B_{r}(a) [/mm] )
und F genüge auf [mm] B_{r}(a) [/mm] einer Lipschitzbedingung mit Lipschitzkonstante 1/2 und es sei [mm] ||A^{-1}f(a)|| [/mm] < 0,5r.
Dann hat f in [mm] B_{r}(a) [/mm] genau eine Nullstelle [mm] \alpha.
[/mm]
Ist [mm] x_{0} \in B_{r}(a), [/mm] so konvergiert die Folge [mm] (x_{k}), [/mm] definiert durch
[mm] x_{k+1} [/mm] = [mm] x_{k}+ A^{-1}f(x_{k}),
[/mm]
gegen [mm] \alpha.
[/mm]
FRED
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> Es gibt das sogenannte "vereinfachte " Newtonverfahren:
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> Sei a [mm]\in R^n,[/mm] r>0, A eine invertierbare nxn- Matrix,
> [mm]B_{r}(a)[/mm] die offene Kugel um a mit Radius r und
>
> f: [mm]B_{r}(a)[/mm] --> [mm]R^n[/mm] eine Funktion.
>
> Weiter sei
>
> F(x):= [mm]x-A^{-1}f(x)[/mm] (x [mm]\in B_{r}(a)[/mm] )
>
> und F genüge auf [mm]B_{r}(a)[/mm] einer Lipschitzbedingung mit
> Lipschitzkonstante 1/2 und es sei [mm]||A^{-1}f(a)||[/mm] < 0,5r.
>
> Dann hat f in [mm]B_{r}(a)[/mm] genau eine Nullstelle [mm]\alpha.[/mm]
>
> Ist [mm]x_{0} \in B_{r}(a),[/mm] so konvergiert die Folge [mm](x_{k}),[/mm]
> definiert durch
>
> [mm]x_{k+1}[/mm] = [mm]x_{k}+ A^{-1}f(x_{k}),[/mm]
>
> gegen [mm]\alpha.[/mm]
>
> FRED
Schön.
Wenn man wüsste, was eine Lipschitzkonstante und eine Lipschitzbedingung
ist, so wäre dies möglicherweise eine Vereinfachung.
Wenn das aber nichts mit Ableitungen zu tun hat, so hat es auch nichts mit
dem Newtonverfahren zu tun (aber vielleicht mit der Methode, Gleichungen
der Form f(x)=x durch Iteration zu lösen).
al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:37 Do 17.07.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich weiß nicht so recht, wie ich Deine Antwort zu werten habe.
"Lipschitzbedingung" und Lipschitzkonstante" sind gängige Begriffe.
Man spricht vom "vereinfachten Newtonverfahren", wenn man nicht bei jedem Schritt [mm] f'(x_{k}) [/mm] brechnet, sondern durch eine konstante Matrix A [mm] \approx f'(x_{k}) [/mm] ersetzt.
FRED
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> "Lipschitzbedingung" und Lipschitzkonstante" sind gängige
> Begriffe.
... für mich ist das nur etwas lange her ...
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