Newtonsches Abkühlungsgesetz < HochschulPhysik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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| Aufgabe | Das von Newton empirisch gefundene Gesetz über die Abkühlung eines Körpers von einer Anfangstemperatur [mm] T_{0} [/mm] auf eine Umgebungstemperatur [mm] T_{u} [/mm] lautet dem Sinne nach:
"Ist die Temperaturdifferenz zwischen einem Körper und seiner Umgebung gering, so ist bei allen drei bekannten Wärmetransport-Mechanismen (Strahlung, Konvektion, und Wärmeleitung) die Abkühlgeschwindigkeit dT/dt in guter Näherung proportional zur Temperaturdifferenz [mm] T_{t}-T_{u}."
[/mm]
Newtons Gesetz lautet in mathematischer Form:
[mm] \bruch{dT}{dt}=-k(T_{(t)}-T_{u})
[/mm]
Beweisen sie die integrierte Form des Abkühlungsgesetzes
[mm] T_{(t)}-T_{u}=(T_{0}-T_{u})*e^{-kt} [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme mit obiger Aufgabe. Hab mir zuerst gedacht, dass ich die erste Gleichung einfach nach t integrieren muss um auf die 2. Gleichung zu kommen, fertig. Aber das funktioniert nicht, ich bekomme u.a. keine e-Funktion in der integrierten Gleichung.
Kann mir jemand helfen?? Danke!!
Gruß
Bernd
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:54 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
Für diese DGL kommt man doch wunderbar mittels "Trennung der Variablen" weiter:
[mm] $$\bruch{dT}{dt} [/mm] \ = \ [mm] -k*(T(t)-T_{u})$$
[/mm]
[mm] $$\blue{\integral}\bruch{dT}{T(t)-T_u} [/mm] \ = \ [mm] \blue{\integral}-k [/mm] \ dt$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Mi 06.08.2008 | | Autor: | berndbrot |
ahja, vielen Dank!!!!
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Hi,
hab doch noch Probleme beim Integrieren.
[mm] ln(T_{(t)}-T_{u})=-kt+c
[/mm]
[mm] T_{(t)}-T_{u}=e^{-kt}+c
[/mm]
So, wenn ich jetzt t=0 setzte ist [mm] c=T_{(t)}-T_{u}-1 [/mm]
Wo steckt da jetzt noch der Fehler???
Und danke für Eure Hilfe.
Gruß
Bernd
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:37 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bernd!
Du musst schon die gesamte rechte Seite der Gleichung "e hoch nehmen":
[mm] $$T(t)-T_{u} [/mm] \ = \ [mm] e^{-k*t+c}$$
[/mm]
Und nun weiter mit  Potenzgesetz:
[mm] $$T(t)-T_{u} [/mm] \ = \ [mm] e^{-k*t}*e^c [/mm] \ = \ [mm] c^{\star}*e^{-k*z}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:44 Mi 06.08.2008 | | Autor: | berndbrot |
ok, danke vielmals!!! Mathe....
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:45 Mi 06.08.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
hier gehts auch ohne Integration:
Du hast ja schon die Lösung vorgegeben. D.h. du musst jetzt nur noch deine Funktion in die DGL einstezen, und zeigen, dass beide Seiten gleich sind. Also einfach die Lösung nach t differenzieren, und dann zeigen, dass das gleich der rechten Seite ist.
Noch eine kleine Sache zur Integration: Solche DGL kann man am besten direkt mit Grenzen integrieren. Die Rechte Seite zB von [mm] $t_0$ [/mm] bis t, die linke Seite dann von [mm] $T(t=t_0)$ [/mm] bis $T(t)$, dann kann man sich die Konstanten sparen.
LG
Kroni
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mi 06.08.2008 | | Autor: | berndbrot |
ok super, danke!!!
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