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Hallo nochmal!
Ich arbeite gerade an einer Aufgabe, in der ich das Newtonverfahren als Werkzeug zur Lösung gebrauchen muss:
Hier die Aufgabenstellung:
gegeben: [mm] f(x)=x^4-x^2+2*x+3
[/mm]
Startwert x1=-1
gesucht: Die Stelle x0 an der die tangente an das Schaubild von f parallel zur Winkelhalbierenden im ersten Quadranten ist
Mein Lösungsansatz:
Funktionsgleichung der Winkelhalbierenden:
y= x [mm] \Rightarrow [/mm] N(0/0)
f |(x)= [mm] 4*x^3-2*x+2
[/mm]
Ich habe also einen Startwert x1=-1.
Doch wenn ich ihn in die Formel des Newtonverfahrens einsetze:
x2= [mm] -1-(((-1)^4-(-1)^2+2*(-1)+3)/(4*(-1)^3-2*(-1)+2))
[/mm]
=-1
kommt wieder -1 raus.
Könnte mir bitte jemand den entscheidenden Tipp geben, wie ich diese Aufgabe lösen könnte?
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Hallo!
Formuliere die Frage am besten erstmal um: Das die Tangente an den Graphen von $f$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] parallel zur Winkelhalbierenden sein soll bedeutet nichts anderes, als dass die Ableitung von $f$ im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] gleich 1 sein soll!
Dies ergibt die Gleichung [mm] $f'(x)-1=4x^3-2x+1=0$.
[/mm]
Jetzt versuch mal, darauf dein Newton-Verfahren anzuwenden!
Gruß, banachella
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Hallo banachella! danke erst mal für die Antwort! ich verstehe auch, dass die Steigung m von der tangente 1 sein muss. Also dass die Ableitung von f(x)=1 sein muss.
Ich sehe dass du der Ableitung eine 1 entnommen hast. Wahrscheinlich weil dies veranschaulichen soll, dass die Steigung 1 und hier in dem Falle -1 sein soll. Doch ehrlich gesagt bin ich gerade total verwirrt und weiß nicht, wieso du die Ableitungsfunktion so umgeformt hast und was ich jetzt mit ihr anfangen soll... Ich wäre sehr dankbar für eine Erklärung...
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Fr 27.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Gesucht ist ja die Stelle [mm] $x_0$, [/mm] an der die Tangente an den Graphen parallel zur Winkelhalbierenden im ersten Quadraten verläuft.
Wie du selber gesehen hast, bedeutet das Folgendes: Gesucht ist die Stelle [mm] $x_0$, [/mm] an der
[mm] $f'(x_0)=1$
[/mm]
gilt. Anders geschrieben: Gesucht ist die Stelle [mm] $x_0$, [/mm] für die
[mm] $f'(x_0)-1=0$
[/mm]
gilt.
Und dies ist ein Nullstellenproblem, das wir (mit Newton) löen können.
Löse also das Nullstellenproblem:
$0 = f'(x)-1 = [mm] 4x^2-2x+1$
[/mm]
mit dem Newtonverfahren. Dann erhältst du näherungsweise ein [mm] $x_0$ [/mm] mit
$0 = [mm] f'(x_0)-1$,
[/mm]
was dein obiges Problem löst.
Viele Grüße
Stefan
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