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Newtonverfahren/Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:30 Sa 27.11.2010
Autor: Igor1

Aufgabe
Sei [mm] x^{*} [/mm] eine m-fache Nullstelle der Funktion f [mm] \in C^{m+1}(\IR).Beweisen [/mm] Sie, daß das folgende veränderte Newtonverfahren lokal mindestens von Ordnung 2 konvergiert:

[mm] x_{k+1}=x_{k}-m*\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}. [/mm]
Hinweis: Betrachten Sie die Taylorentwicklungen von f und f' an der Stelle [mm] x^{*}. [/mm]




Hallo,

sei [mm] F(x^{*})=x^{*}-m*\bruch{f(x^{*})}{f'(x^{*})}. [/mm]

Konvergenz von Ordnung 2 bedeutet hier [mm] F(x^{*})= [/mm] 0 und
[mm] F'(x^{*})=0 [/mm] ?

Mindestens von Ordnung 2 bedeutet, daß [mm] F(x^{*})= [/mm] 0 und
[mm] F'(x^{*})=0 [/mm] gilt?

Was bedeutet dann "lokal mindestens  von  Ordnung 2 konvergiert"?

Bis zu welcher Ordnung reicht es aus, f und f' zu entwickeln?


Gruß
Igor

        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:07 Sa 27.11.2010
Autor: MathePower

Hallo Igor1,

> Sei [mm]x^{*}[/mm] eine m-fache Nullstelle der Funktion f [mm]\in C^{m+1}(\IR).Beweisen[/mm]
> Sie, daß das folgende veränderte Newtonverfahren lokal
> mindestens von Ordnung 2 konvergiert:
>  
> [mm]x_{k+1}=x_{k}-m*\bruch{f(x_{k})}{f'(x_{k})}.[/mm]
>  Hinweis: Betrachten Sie die Taylorentwicklungen von f und
> f' an der Stelle [mm]x^{*}.[/mm]
>  
>
>
> Hallo,
>  
> sei [mm]F(x^{*})=x^{*}-m*\bruch{f(x^{*})}{f'(x^{*})}.[/mm]
>  
> Konvergenz von Ordnung 2 bedeutet hier [mm]F(x^{*})=[/mm] 0 und
>  [mm]F'(x^{*})=0[/mm] ?


Ja.


>  
> Mindestens von Ordnung 2 bedeutet, daß [mm]F(x^{*})=[/mm] 0 und
>  [mm]F'(x^{*})=0[/mm] gilt?


Ja.


>  
> Was bedeutet dann "lokal mindestens  von  Ordnung 2
> konvergiert"?


Das heisst,  dass es eine Umgebung [mm]U\left(x^{\*}\right)[/mm] von [mm]x^{\*}[/mm] gibt, in der das Newtonverfahren für alle Startpunkte [mm]x_{0} \inU\left(x^{\*}\right)[/mm], die durch [mm]F[/mm] erzeugte
Folge [mm]x_{k}[/mm] gegen [mm]x^{\*}[/mm] konvergiert.

Das Verfahren ist von der Ordnung 2, wenn

[mm]F\left(x^{\*}\right)=F'\left(x^{\*}\right)=0, \ F''\left(x^{\*}\right)\not=0[/mm]


>  
> Bis zu welcher Ordnung reicht es aus, f und f' zu
> entwickeln?
>  
>
> Gruß
>  Igor


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:30 So 28.11.2010
Autor: Igor1

Hallo,

da [mm] x^{\*} [/mm] eine m-fache Nullstelle ist: gilt [mm] f^{(k)}(x^{\*})= [/mm] 0 für
k= 1,...,m (stimmt das ?).

Dann ist die Taylorentwicklung von f bzw f' an der Stelle [mm] x^{\*} [/mm] :

f(x) = [mm] \bruch{f^{m+1}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1} [/mm]
f'(x)= [mm] \bruch{f^{m}(\xi)}{(m)!}(x-x^{\*})^{m} [/mm]


Stimmt es soweit?


Gruß
Igor

Bezug
                        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:40 So 28.11.2010
Autor: leduart

Hallo

> Hallo,
>  
> da [mm]x^{\*}[/mm] eine m-fache Nullstelle ist: gilt
> [mm]f^{(k)}(x^{\*})=[/mm] 0 für
>  k= 1,...,m (stimmt das ?).

nein, nur bis m-1

> Dann ist die Taylorentwicklung von f bzw f' an der Stelle
> [mm]x^{\*}[/mm] :
>  
> f(x) = [mm]\bruch{f^{m+1}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}[/mm]

das sieht nach Restglied nicht Taylor aus. was soll das [mm] \xi? [/mm]
Taylor ist immer ein Polynom

>  f'(x)= [mm]\bruch{f^{m}(\xi)}{(m)!}(x-x^{\*})^{m}[/mm]
>  
>
> Stimmt es soweit?

nein
gruss leduart


Bezug
                                
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 28.11.2010
Autor: Igor1

Hallo,

Taylorentwicklung ist doch Taylorpolynom + Restglied .
[mm] \xi [/mm] ist die "wohlbekannte" Zwischenstelle (zwischen x und [mm] x^{\*}) [/mm] der Lagrangedarstellung.

Falls also k=1,...,m-1 , dann

f(x) = [mm]\bruch{f^{(m)}(x^{\*})}{m!}(x-x^{\*})^{m}+\bruch{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{f^{(m)}(\xi)}{m!}(x-x^{\*})^{m} [/mm]

Die Summanden  für k=1,..., m-1 sind Null.

Stimmt das jetzt?

Gruß
Igor


Bezug
                                        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:20 So 28.11.2010
Autor: leduart

hallo
du hast jetzt das TP mit der ersten zählenden Potenz für f
aber für f' nur ein Restglied, kein TP. und das falsche.

wenn du f' entwickelst hast du doch erstmal nur die Abl. von f' also [mm] (f')^{(n)}/n!*(x-x*)^n=f^{(n+1)}/n!*(x-x*)^n [/mm] als allgemeines Glied der TR von f'
Gruss leduart



Bezug
                                                
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:35 So 28.11.2010
Autor: Igor1

Hallo,

f(x) = [mm]\bruch{f^{(m)}(x^{\*})}{m!}(x-x^{\*})^{m}+\bruch{f^{(m+1)}(\xi)}{(m+1)!}(x-x^{\*})^{m+1}[/mm]
f'(x) = [mm] \bruch{f'^{(m-1)}(x^{\*})}{(m-1)!}(x-x^{\*})^{m-1}+\bruch{f'^{(m)}(\xi)}{m!}(x-x^{\*})^{m} [/mm]

Ist das richtig?

Gruß
Igor

Bezug
                                                        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:58 So 28.11.2010
Autor: leduart

ja
leduart


Bezug
                                                                
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:09 Mo 29.11.2010
Autor: Igor1

Hallo,

ich habe im Internet einen Ansatz gefunden :[]Modifiziertes Newtonverfahren bei p-facher Nullstelle.

Das sieht kompliziert genug aus.


PS: Dieses posting ist als "Mitteilung" zu verstehen.


Gruß
Igor

Bezug
                                                                        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:55 Mo 29.11.2010
Autor: Igor1

Hallo,

da sich bis jetzt niemand gemeldet hat, möchte ich wissen , woran das liegt:

Ist die Aufgabe  kompliziert oder ist eine von meinen Aussagen falsch/unklar ?


Die Aufgabe soll ich bis morgen früh abgeben.

Übrigens , ich würde mich auch freuen , wenn ihr einfach zu dem  Kommentare schreibt, was ihr kommentieren könnt. D.h die Frage/en  müßen  nicht vollständig beantworten werden. (wenn es nicht geht)




Gruß
Igor


Bezug
                                                                        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 20:05 Mo 29.11.2010
Autor: Igor1

Hallo,

ist die Umformung (*) korrekt?


Gruß
Igor

Bezug
                                                                                
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Newtonverfahren/Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:23 Mi 01.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                                                                        
Bezug
Newtonverfahren/Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:21 Mi 01.12.2010
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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