Newtosches Tangentenverfahren < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hi,
ich habe diese frage in noch keinem anderen forum im internet gestellt.
ich habe eine funktion bei der ich die nullstellen mittels dem newtonsche tangentenverfahren ermitteln soll. nur habe ich keinen plan wie.
ich habe mit excel eine wertetabelle für y, einen graphen und eine wertetabelle für y' erstellt, aber wie komme ich an die nullstellen. mit der iterationsvorschrift, die in meinem skript gegeben ist, komme ich leider nicht weiter. kennt jemand vielleicht eine seite wo eine beispiel aufgabe dafür gerechnet wurde?
cu jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:04 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber halebob
mein Vorschlag: gib mal deine Funktion konkret bekannt! Dann können wir schauen, ob wir das Verfahren im Skript umsetzen können!
Mit liebe Grüssen
Paul
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die funktion lautet:
y = [mm] x^4 [/mm] +19,5x - 21,2
die nullstellen sollen auf drei nachkommastellen genau berechnet werden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Fr 25.02.2005 | | Autor: | Paulus |
Hallo halebob
jetzt ist nur die Frage, was denn in deinem Skript steht!
Ich vermute mal dieses:
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{f(x_n)}{f'(x_n)}$
[/mm]
Wobei für den Startwert [mm] $x_0$ [/mm] ein geeigneter Wert gefunden werden muss. (Das ist übrigens die Hauptschwierigkeit!)
Wir brauchen also die erste Ableitung der Funktion:
Wenn ich mich nicht irre, sieht sie so aus:
[mm] $f'(x)=4x^3+\bruch{39}{2}$ [/mm] (Ich arbeite lieber mit Brüchen als mit Dezimalstellen)
Damit wird die Formel zu
[mm] $x_{n+1}=x_n-\bruch{x_n^4+\bruch{39}{2}x_n-\bruch{106}{5} }{4x_n^3+\bruch{39}{2}}=...=\bruch{2(15x_n^4+106)}{5(8x_n^3+39)}$
[/mm]
Du siehst der Funktion sofort an, dass sie ungefähr bei x=1 eine Nullstelle haben muss. Es ist also eine gute Idee, für [mm] $x_0$ [/mm] den Wert $1_$ einzusetzen.
Das ergibt dann sofort:
[mm] $x_0=1$
[/mm]
[mm] $x_1=1.02978723404255$
[/mm]
[mm] $x_2=1.02955972708561$
[/mm]
[mm] $x_3=1.02955971328797$
[/mm]
[mm] $x_4=1.02955971328797$
[/mm]
Eine Untersuchung ergibt, dass bei ungefähr x=-2 ein Minimum der Funktion erreicht wird. Das würde ich als Startwert also niemals einsetzen. 
Vielleicht also [mm] $x_0=-3$?
[/mm]
Ok, ist ein Versuch wert:
[mm] $x_0=-3$
[/mm]
[mm] $x_1=-2.98531073446328$
[/mm]
[mm] $x_2=-2.98517712125253$
[/mm]
[mm] $x_3=-2.98517711026851$
[/mm]
[mm] $x_4=-2.98517711026851$
[/mm]
Vielleicht kannst du noch zeigen, dass damit alle Nullstellen gefunden sind!
Tipp dazu: die erste Ableitung der Funktion ist rechts der Minimalstelle positiv, links davon negativ! Satz von Rolle repetieren.
Mit lieben Grüssen
Paul
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Hi halebob,
Im Semendjajew lese ich noch folgendes:
1.) Die Anzahl der positiven Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge [mm] $a_n, a_{n-1}, \ldots,a_1, a_0$
[/mm]
oder um eine gerade Anzahl kleiner.
2.) Die Anzahl der negativen Nullstellen ist gleich der Anzahl der Vorzeichenwechsel in der Koeffizientenfolge [m]a_0, -a_1, a_2, \ldots,\left(-1\right)^n a_n[/m] oder um eine gerade Anzahl kleiner.
Da Paul aber schon zwei Nullstellen bestimmt hat, reicht das wahrscheinlich schon als Argument, daß es keine weiteren Nullstellen geben kann. (Hmm, oder vielleicht ist das auch nur eine allgemeinere Fassung des Satzes von Rolle... bin mir jetzt nicht sicher  )
Grüße
Karl
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Hi, halebob,
zunächst zur Frage der Anzahl der Nullstellen (eine Funktion 4. Grades könnte ja bis zu 4 Stück davon haben!):
Setzt man die 1. Ableitung [mm] f'(x)=4x^{3}+19,5 [/mm] =0, so erhält man genau einen Extrempunkt (bei etwa x=-1,7; y=-46), nämlich einen Tiefpunkt. Bedeutet: Es gibt genau 2 Nullstellen.
Durch geschicktes Probieren erhält man einen Hinweis auf deren Lage: Eine davon liegt sehr nahe bei x=+1,
die andere sehr nahe bei x=-3.
Ich zeig Dir jetzt nur das Näherungsverfahren für die NS nahe x=1:
Erst mal die Rekursionsformel:
[mm] x_{n+1}=x_{n}-\bruch{f(x_{n})}{f'(x_{n})}
[/mm]
[mm] x_{1}=1 [/mm] => [mm] x_{2} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{-0,7}{23,5} [/mm] = 1,0297872 (Lieber ein paar Stellen zu viel als zu wenig! Man kann auf beim Taschenrechner mit der Speichertaste arbeiten!)
[mm] x_{2}= [/mm] 1,0297872 => [mm] x_{3} [/mm] = 1,0297872 - [mm] \bruch{0,0054293689}{23,868199} [/mm] = 1,02955797
usw. (so lange, bis die 3. Stelle nach dem Komma feststeht!)
mfG!
Zwerglein
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hi,
vielen dank, das hat mir geholfen und jetzt kann ich auch die anderen aufgaben dazu rechnen. die formel die paulus angegeben hat, steht auch bei mir im skript und das war es dann auch schon. keine erklärung nix.
also nochmals danke für eure hilfe.
jan
ps: wie schon gesagt wurde, sind es genau zwei nullstellen.
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