Nicht Diagonalisierbarkeit 2x2 < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Für welche $(a, b, c, d) [mm] \in \IR^4$ [/mm] ist A= [mm] \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm] als Element von [mm] $\IR^{2x2}$ [/mm] nicht diagonalisierbar? Und als Element von [mm] $\IC^{2x2}$? [/mm] |
Hey, ich möchte die oben gestellte Aufgabe bearbeiten.
Zur Lösung bin ich über die arithmetische und geometrische Vielfachheit herangegangen, es gilt:
Ist ari. VFH = geo. VFH [mm] $\Rightarrow$ [/mm] Diagonalisierbarkeit.
Also ist ari. VFH =|= geo. VFH [mm] $\Rightarrow$ [/mm] nicht Diagonalisierbarkeit.
Wähle für A: a = d und b = 0 oder c = 0, mit b =|= c
[mm] $\Rightarrow$ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & a
\end{pmatrix}
[/mm]
Charakteristisches Polynom: [mm] $det(A-\lambda E_n)=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow (a-\lambda)^2=0$
[/mm]
Eigenwert: [mm] $\lambda=a$, [/mm] mit dem arithmetischen Mittel = 2
Für die Eigenvektoren gilt dann:
[mm] $(A-aE_n)v=0$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ \begin{pmatrix}
0 & b \\
c & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
Für b = 0 ergibt sich der Basisvektor (Eigenvektor): [mm] $(0,1)^T$
[/mm]
Für c = 0 ergibt sich der Basisvektor (Eigenvektor): [mm] $(1,0)^T$
[/mm]
Also ist die Dimension (und damit die geometrische VFH) des Unterraums immer = 1,
D.h. egal, welche Werte a=d annimmt, die arithmetische Vielfachheit wird immer 2 sein und ist damit immer ungleich der geometrischen Vielfachheit, welche immer 1 ist.
[mm] $\Rightarrow$ \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix} [/mm] ist nicht diagonalisierbar für alle $(a, b, c, d) [mm] \in \IR^4$ [/mm] über [mm] $\IR^{2x2}$, [/mm] mit a = d, b =|= c und b oder c = 0.
Habe ich es damit für [mm] $\IR^{2x2}$ [/mm] gezeigt?
Gilt dies dann nicht auch in [mm] $\IC^{2x2}$?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Für welche [mm](a, b, c, d) \in \IR^4[/mm] ist A= [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm] als Element von [mm]\IR^{2x2}[/mm]
> nicht diagonalisierbar? Und als Element von [mm]\IC^{2x2}[/mm]?
> Hey, ich möchte die oben gestellte Aufgabe bearbeiten.
>
> Zur Lösung bin ich über die arithmetische und
> geometrische Vielfachheit herangegangen, es gilt:
> Ist ari. VFH = geo. VFH [mm]\Rightarrow[/mm] Diagonalisierbarkeit.
Nein, das gilt nur in speziellen Körpen (und zwar den algebraisch abgeschlossenen). Es gibt noch eine Bedingung davor. Nachschlagen.
Das liefert dann schonmal eine schöne Bedingung.
Man könnte sich auch überlegen bei welche Anzahl an Eigenwerten es überhaupt nur zu Problemen kommen kann.
> Also ist ari. VFH =|= geo. VFH [mm]\Rightarrow[/mm] nicht
> Diagonalisierbarkeit.
>
> Wähle für A: a = d und b = 0 oder c = 0, mit b =|= c
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & a
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Charakteristisches Polynom: [mm]det(A-\lambda E_n)=0[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow (a-\lambda)^2=0[/mm]
> Eigenwert: [mm]\lambda=a[/mm], mit dem
> arithmetischen Mittel = 2
>
> Für die Eigenvektoren gilt dann:
>
> [mm](A-aE_n)v=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
0 & b \\
c & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Für b = 0 ergibt sich der Basisvektor (Eigenvektor):
> [mm](0,1)^T[/mm]
> Für c = 0 ergibt sich der Basisvektor (Eigenvektor):
> [mm](1,0)^T[/mm]
>
> Also ist die Dimension (und damit die geometrische VFH) des
> Unterraums immer = 1,
>
> D.h. egal, welche Werte a=d annimmt, die arithmetische
> Vielfachheit wird immer 2 sein und ist damit immer ungleich
> der geometrischen Vielfachheit, welche immer 1 ist.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
a & b \\
c & d
\end{pmatrix}[/mm] ist nicht diagonalisierbar
> für alle [mm](a, b, c, d) \in \IR^4[/mm] über [mm]\IR^{2x2}[/mm], mit a =
> d, b =|= c und b oder c = 0.
>
> Habe ich es damit für [mm]\IR^{2x2}[/mm] gezeigt?
Nein. Du hast hier einen Spezialfall betrachtet. Wie soll das denn eine Aussage über alle 2x2 Matrizen machen?
> Gilt dies dann nicht auch in [mm]\IC^{2x2}[/mm]?
Siehe oben.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
P.S. [mm] $\neq$
[/mm]
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Hallo,
danke für deine Antwort!
Bemerkung: Mit $arithmetischen (Mittel)$ habe ich oben immer algebraische Vielfachheit gemeint (war schon etwas spät) ...
> > Ist ari. VFH = geo. VFH [mm]\Rightarrow[/mm] Diagonalisierbarkeit.
> Nein, das gilt nur in speziellen Körpen (und zwar den
> algebraisch abgeschlossenen). Es gibt noch eine Bedingung
> davor. Nachschlagen.
Bedingung:
Eine nxn-Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie zu einer Diagonalmatrix D ähnlich ist, d.h. wenn es eine invertierbare Matrix B gibt mit: [mm] $D=B^{-1}AB
[/mm]
Diese Bedingung ist enthalten im Satz:
Eine reelle oder komplexe nxn-Matrix A ist diagonalisierbar, wenn: [mm] $rg(A-\lambda_iE_n=n-m_i$ [/mm] für alle Eigenwerte [mm] $\lambda_i$ [/mm] (algebraische Vielfachheit [mm] $m_i$) [/mm] von A gilt.
> Das liefert dann schonmal eine schöne Bedingung.
> Man könnte sich auch überlegen bei welche Anzahl an
> Eigenwerten es überhaupt nur zu Problemen kommen kann.
Hmm... Also eine nxn-Matrix besitzt immer n Nullstellen (Eigenwerte), jedoch kann die Anzahl der Eigenwerte [mm] §\lambda_i$ [/mm] sich auf i=1 beschränken (wenn Doppelnullstelle)
Das heißt für [mm] $\lambda_i$, [/mm] mit i < n kann es zu Problemen kommen, wenn sich nicht entsprechend viele Eigenvektoren finden lassen. Das war ja gerade der Fall in meinem 'Spezialfall' oben.
Betrachten wir nun noch einmal die Bedingung der Ähnlichkeit von A zu D (bedeutet Eigenwerte von A und D sind gleich), so ergeben sich für eine 2x2-Matrix A die folgenden Möglichkeiten für die Diagonale:
$D=$ [mm] \begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}
[/mm]
Hat A also 2 verschiedene Eigenwerte [mm] $\lambda$, [/mm] dann ist A ähnlich zur Diagonalmatrix D oben und damit diagonalisierbar.
Hat A jedoch 2 mal den gleichen Eigenwert [mm] $\lambda$, [/mm] dann ist A ähnlich zur Diagonalmatrix D oben und damit diagonalisierbar oder zur Diagonalmatrix D unten (abhängig davon, ob b oder c = 0) und damit nicht diagonalisierbar, da die Diagonalmatrix ja gerado so definiert ist, dass sie nur die Eigenwerte als Einträge auf der Diagonalen hat.
$D=$ [mm] \begin{pmatrix}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda
\end{pmatrix}
[/mm]
Ist das so allgemeiner und für [mm] \IR^{2x2} [/mm] gezeigt?
> > Habe ich es damit für [mm]\IR^{2x2}[/mm] gezeigt?
> Nein. Du hast hier einen Spezialfall betrachtet. Wie soll
> das denn eine Aussage über alle 2x2 Matrizen machen?
> > Gilt dies dann nicht auch in [mm]\IC^{2x2}[/mm]?
> Siehe oben.
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
>
> P.S. [mm]\neq[/mm]
>
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> Hallo,
> danke für deine Antwort!
>
> Bemerkung: Mit [mm]arithmetischen (Mittel)[/mm] habe ich oben immer
> algebraische Vielfachheit gemeint (war schon etwas spät)
> ...
>
> > > Ist ari. VFH = geo. VFH [mm]\Rightarrow[/mm]
> Diagonalisierbarkeit.
> > Nein, das gilt nur in speziellen Körpen (und zwar den
> > algebraisch abgeschlossenen). Es gibt noch eine Bedingung
> > davor. Nachschlagen.
>
> Bedingung:
> Eine nxn-Matrix A heißt diagonalisierbar, wenn sie zu
> einer Diagonalmatrix D ähnlich ist, d.h. wenn es eine
> invertierbare Matrix B gibt mit: [mm]$D=B^{-1}AB[/mm]
>
> Diese Bedingung ist enthalten im Satz:
> Eine reelle oder komplexe nxn-Matrix A ist
> diagonalisierbar, wenn: [mm]rg(A-\lambda_iE_n=n-m_i[/mm] für alle
> Eigenwerte [mm]\lambda_i[/mm] (algebraische Vielfachheit [mm]m_i[/mm]) von A
> gilt.
Siehe Gegenbeispiel unten.
> > Das liefert dann schonmal eine schöne Bedingung.
> > Man könnte sich auch überlegen bei welche Anzahl an
> > Eigenwerten es überhaupt nur zu Problemen kommen kann.
>
> Hmm... Also eine nxn-Matrix besitzt immer n Nullstellen
> (Eigenwerte), jedoch kann die Anzahl der Eigenwerte
> [mm]§\lambda_i$[/mm] sich auf i=1 beschränken (wenn
> Doppelnullstelle)
Falsch. Zum einen hat eine Matrix keine Nullstellen.
Zum anderen: Wie willst du diese Matrix
[mm] $\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 &0\end{pmatrix}
[/mm]
in den reellen Zahlen diagonalisieren?
Und wie viele reelle Eigenwerte hat diese Matrix?
> Das heißt für [mm]\lambda_i[/mm], mit i < n kann es zu Problemen
> kommen, wenn sich nicht entsprechend viele Eigenvektoren
> finden lassen. Das war ja gerade der Fall in meinem
> 'Spezialfall' oben.
>
> Betrachten wir nun noch einmal die Bedingung der
> Ähnlichkeit von A zu D (bedeutet Eigenwerte von A und D
> sind gleich), so ergeben sich für eine 2x2-Matrix A die
> folgenden Möglichkeiten für die Diagonale:
>
> [mm]D=[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
\lambda_1 & 0 \\
0 & \lambda_2
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Hat A also 2 verschiedene Eigenwerte [mm]\lambda[/mm], dann ist A
> ähnlich zur Diagonalmatrix D oben und damit
> diagonalisierbar.
> Hat A jedoch 2 mal den gleichen Eigenwert [mm]\lambda[/mm], dann
> ist A ähnlich zur Diagonalmatrix D oben und damit
> diagonalisierbar oder zur Diagonalmatrix D unten (abhängig
> davon, ob b oder c = 0) und damit nicht diagonalisierbar,
> da die Diagonalmatrix ja gerado so definiert ist, dass sie
> nur die Eigenwerte als Einträge auf der Diagonalen hat.
>
> [mm]D=[/mm] [mm]\begin{pmatrix}
\lambda & 1 \\
0 & \lambda
\end{pmatrix}[/mm]
>
> Ist das so allgemeiner und für [mm]\IR^{2x2}[/mm] gezeigt?
>
Du hast hier mögliche Fälle aufgezählt.
Deine Aufgabe ist es aber in Abhängigkeit von (a,b,c,d) zu zeigen welcher Fall eintritt.
> > > Habe ich es damit für [mm]\IR^{2x2}[/mm] gezeigt?
> > Nein. Du hast hier einen Spezialfall betrachtet. Wie
> soll
> > das denn eine Aussage über alle 2x2 Matrizen machen?
> > > Gilt dies dann nicht auch in [mm]\IC^{2x2}[/mm]?
> > Siehe oben.
> > > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > > Internetseiten gestellt.
> >
> > P.S. [mm]\neq[/mm]
> >
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Hallo, danke für deine Antwort.
> Du hast hier einen Spezialfall betrachtet. Wie soll
> das denn eine Aussage über alle 2x2 Matrizen machen?
> Du hast hier mögliche Fälle aufgezählt.
> Deine Aufgabe ist es aber in Abhängigkeit von (a,b,c,d)
> zu zeigen welcher Fall eintritt.
Also ich weiß jetzt nicht mehr so recht, wie ich da noch ran gehen soll und wo ich überhaupt hin will.
Kannst du mir bitte einen Ansatz geben?
Grüße
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Ich hätte es schön gefunden, wenn du - wie von mir vorgeschlagen - das kleine Beispiel mal durchgerechnet hättest, das hätte dich wohl auf Ideen gebracht...
Im Sinne des pfingstlichen Weltfriedens:
Eine Matrix A ist diagonalisierbar, wenn das zugehörige charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt und wenn alle die geom. und alg. Vielfachheit der Eigenwerte jeweils übereinstimmt.
Der entscheidende Punkt ist hier der erste.
Im fall dieser Aufgabe lässt sich das char. Polynom in Abhängigkeit von a,b,c,d berechnen und auch angeben wann das Polynom zerfällt.
Danach schaut man sich an wann die geom. Vielfachheit ein Problem wird.
Auch das lässt sich in diesem Fall einfach am charakt. Polynom ablesen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:37 Mo 20.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Wenn ich das charakteristsiche Polynom folgendermaßen definiere:
[mm] X_{A}=\produkt_{i=1}^{r} (x-\lambda_{i})^{m_{i}}
[/mm]
Heißt das dann:
[mm] X_{A}=(a-\lambda_{1})^{m_{1}}(a-\lambda_{2})^{m_{2}} [/mm] ?
Kann man dann daraus wegen der algebr. und geom. Vielfachheit schließen, dass die Matix nicht diagonalisiebar ist, falls [mm] m_{1}+m_{2}\not=2 [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:38 Di 21.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Wenn ich das charakteristsiche Polynom folgendermaßen
> definiere:
> [mm]X_{A}=\produkt_{i=1}^{r} (x-\lambda_{i})^{m_{i}}[/mm]
>
> Heißt das dann:
> [mm]X_{A}=(a-\lambda_{1})^{m_{1}}(a-\lambda_{2})^{m_{2}}[/mm] ?
>
> Kann man dann daraus wegen der algebr. und geom.
> Vielfachheit schließen, dass die Matix nicht
> diagonalisiebar ist, falls [mm]m_{1}+m_{2}\not=2[/mm] ?
Wir sind doch bei einer 2x2 -Matrix !
Im komplexen Fall gibt es 2 Möglichkeiten für das char. Polynom von A:
1. [mm] (X-\lambda_1)(X-\lambda_2) [/mm] mit [mm] \lambda_1, \lambda_2 \in \IC [/mm] und [mm] \lambda_1 \ne \lambda_2
[/mm]
oder
2. [mm] (X-\lambda)^2 [/mm] mit [mm] \lambda \in \IC.
[/mm]
Im reellen Fall gibt es 3 Möglichkeiten für das char. Polynom von A:
1. [mm] (X-\lambda_1)(X-\lambda_2) [/mm] mit [mm] \lambda_1, \lambda_2 \in \IR [/mm] und [mm] \lambda_1 \ne \lambda_2
[/mm]
oder
2. [mm] (X-\lambda)^2 [/mm] mit [mm] \lambda \in \IR.
[/mm]
oder
3. A hat keine reellen Eigenwerte.
FRED
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Danke für den super Hinweis.
Ich habe dann das char. Polynom der allg. Matrix gebildet und nach [mm] $\lambda$ [/mm] aufgelöst, dadurch konnte ich genau bestimmen, für welche a,b,c,d der Ausdruck unter der Wurzel nicht erfüllt ist.
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