Nicht abelsche Gruppe Ord 21 < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeigen Sie: Es gibt (bis auf Isomorphie) genau eine nicht-abelsche Gruppe mit 21 Elementen. |
Wir haben die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
$|G|=21=3*7$
Also Existieren [mm] S_3 [/mm] und [mm] S_7 [/mm] Sylowgruppen nach dem ersten und zweiten Sylowsatz.
Die Anzahl der Sylowgruppen [mm] (a_n [/mm] genannt) sind nach dem 3. Sylowsatz:
[mm] $a_3\equiv [/mm] 1(3) [mm] \wedge a_3|7$
[/mm]
Dies gilt für [mm] a_3\in{1,7}
[/mm]
[mm] $a_7\equiv [/mm] 1(7) [mm] \wedge a_7|3$
[/mm]
Dies gilt nur für [mm] a_7=1
[/mm]
Das bedeutet, dass es nur eine [mm] S_7 [/mm] Untergruppe geben kann. Diese hat Ordnung 7.
Demnach muss es 7 [mm] S_3 [/mm] Sylowuntergruppen geben.
Diese haben Ordnung [mm] ord(S_3)=7*(3-1) [/mm] + 1 =15 (incl. dem neutralen Element).
[mm] Ord(G)=Ord(S_7)+Ord(S_3)-Ord(S_7\cap\S_3)=21
[/mm]
[mm] x^7=e=y^3 [/mm] für [mm] =S_7 [/mm] und [mm] =S_3
[/mm]
Also ist [mm] $\IZ_3\times\IZ_7=G$
[/mm]
Stimmt das so?
Ist das auch formal richtig??
Kann man das so in der Klausur abgeben??
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:41 Mo 26.03.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
Hier stimmt leider so einiges nicht.
> Zeigen Sie: Es gibt (bis auf Isomorphie) genau eine
> nicht-abelsche Gruppe mit 21 Elementen.
> Wir haben die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
> [mm]|G|=21=3*7[/mm]
>
> Also Existieren [mm]S_3[/mm] und [mm]S_7[/mm] Sylowgruppen nach dem ersten
> und zweiten Sylowsatz.
>
> Die Anzahl der Sylowgruppen [mm](a_n[/mm] genannt) sind nach dem 3.
> Sylowsatz:
>
> [mm]a_3\equiv 1(3) \wedge a_3|7[/mm]
> Dies gilt für [mm]a_3\in{1,7}[/mm]
>
> [mm]a_7\equiv 1(7) \wedge a_7|3[/mm]
> Dies gilt nur für [mm]a_7=1[/mm]
>
> Das bedeutet, dass es nur eine [mm]S_7[/mm] Untergruppe geben kann.
> Diese hat Ordnung 7.
Ja.
> Demnach muss es 7 [mm]S_3[/mm] Sylowuntergruppen geben.
>
Nein, wieso? Das ist bloß eine Möglichkeit. Du musst auch die Möglichkeit betrachten, dass G nur eine 3-Sylowuntergruppe besitzt.
> Diese haben Ordnung [mm]ord(S_3)=7*(3-1)[/mm] + 1 =15 (incl. dem
> neutralen Element).
>
Hier weiß ich absolut nicht was du meinst. Die 3-Sylowuntergruppen haben natürlich die Ordnung 3.
> [mm]Ord(G)=Ord(S_7)+Ord(S_3)-Ord(S_7\cap\S_3)=21[/mm]
>
Auch das ist völlig unverständlich und darüber hinaus falsch.
> [mm]x^7=e=y^3[/mm] für [mm]=S_7[/mm] und [mm]=S_3[/mm]
>
> Also ist [mm]\IZ_3\times\IZ_7=G[/mm]
>
Und diese Gruppe ist doch offensichtlich abelsch.
Also: Dein Ansatz ist ja ok. Du hast zwei Fälle:
1) Es gibt bloß eine 3-Sylowuntergruppe. Dann sind die 7-Sylowuntergruppe [mm]S_{7}[/mm] sowie die 3-Sylowuntergruppe [mm]S_{3}[/mm] Normalteiler. Dann folgt aber sofort [mm]G\cong S_{3}\times S_{7} = \IZ_{3} \times \IZ_{7}[/mm], und diese Gruppe ist abelsch.
2) Angenommen es gibt sieben 3-Sylowuntergruppen. Dann hast du immer noch die 7-Sylow [mm]S_{7} \cong \IZ_{7}[/mm] als Normalteiler. Sei [mm]H\cong \IZ_{3}[/mm] irgendeine 3-Sylow. Dann ist G das semidirekte Produkt aus H und [mm] S_{7}[/mm]. (klar wieso?) Gehe jetzt die möglichen Fälle für das semidirekte Produkt durch, dh die möglichen Operationen von [mm]\IZ_{3}[/mm] durch Konjugation auf [mm]\IZ_{7}[/mm].
Viele Grüße,
Berieux
>
> Stimmt das so?
> Ist das auch formal richtig??
>
> Kann man das so in der Klausur abgeben??
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Also noch mal:
Zeigen Sie: Es gibt (bis auf Isomorphie) genau eine
nicht-abelsche Gruppe mit 21 Elementen.
Wir haben die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
[mm]|G|=21=3*7[/mm]
Also Existieren [mm]S_3[/mm] und [mm]S_7[/mm] Sylowgruppen nach dem ersten und zweiten Sylowsatz.
Die Anzahl der Sylowgruppen [mm](a_n[/mm] genannt) sind nach dem 3.
Sylowsatz:
[mm]a_3\equiv 1(3) \wedge a_3|7[/mm]
Dies gilt für [mm]a_3\in{1,7}[/mm]
[mm]a_7\equiv 1(7) \wedge a_7|3[/mm]
Dies gilt nur für [mm]a_7=1[/mm]
Das bedeutet, dass es nur eine [mm]S_7[/mm] Untergruppe geben kann.
Diese hat Ordnung 7.
Weiter muss es eine oder 7 [mm]S_3[/mm] Sylowuntergruppen geben.
Es gilt: [mm]x^7=e=y^3[/mm] für [mm]=S_7[/mm] und [mm]=S_3[/mm]
Fall 1: Es existiert eine [mm] S_3 [/mm] Sylowgruppe
Dann ist diese normal und zu [mm] S_7 [/mm] konjugiert.
[mm] $yxy^{-1}=x$
[/mm]
[mm] $\gdw [/mm] yx=xy$
[mm] $G=\IZ_3\times\IZ_7$
[/mm]
Ist die gleich oder nur isomorph???
Fall 2: Es existieren 7 [mm] S_3 [/mm] Sylowgruppen
Nach dem 1. Isomorphiesatz gilt:
[mm] $G=S_3*S_7$ [/mm] und [mm] $S_3\cap S_7=\{e\}$
[/mm]
Es gilt: [mm] $G/S_7=S_3*S_7\cong S_3/S_3\cap S_7=S_3/\{e\}\cong S_3$, [/mm] sodass [mm] $G/S_7\cong S_3.
[/mm]
Stimmt es jetzt???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 27.03.2012 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> Also noch mal:
>
> Zeigen Sie: Es gibt (bis auf Isomorphie) genau eine
> nicht-abelsche Gruppe mit 21 Elementen.
> Wir haben die Aufgabe folgendermaßen gelöst:
> [mm]|G|=21=3*7[/mm]
>
> Also Existieren [mm]S_3[/mm] und [mm]S_7[/mm] Sylowgruppen nach dem ersten
> und zweiten Sylowsatz.
>
> Die Anzahl der Sylowgruppen [mm](a_n[/mm] genannt) sind nach dem 3.
> Sylowsatz:
>
> [mm]a_3\equiv 1(3) \wedge a_3|7[/mm]
> Dies gilt für [mm]a_3\in{1,7}[/mm]
>
> [mm]a_7\equiv 1(7) \wedge a_7|3[/mm]
> Dies gilt nur für [mm]a_7=1[/mm]
>
> Das bedeutet, dass es nur eine [mm]S_7[/mm] Untergruppe geben kann.
> Diese hat Ordnung 7.
>
>
> Weiter muss es eine oder 7 [mm]S_3[/mm] Sylowuntergruppen geben.
>
> Es gilt: [mm]x^7=e=y^3[/mm] für [mm]=S_7[/mm] und [mm]=S_3[/mm]
>
> Fall 1: Es existiert eine [mm]S_3[/mm] Sylowgruppe
>
> Dann ist diese normal und zu [mm]S_7[/mm] konjugiert.
>
Da beide Untergruppen Normalteiler sind, kann doch die eine nicht zur anderen konjugiert sein. Es gilt allgemein, dass wenn alle Sylowgrupen Normalteiler sind so ist G das direkte Produkt aus den Sylowgruppen. Das habt ihr mit Sicherheit in der Vorlesung gehabt.
> [mm]yxy^{-1}=x[/mm]
> [mm]\gdw yx=xy[/mm]
>
> [mm]G=\IZ_3\times\IZ_7[/mm]
>
>
>
> Ist die gleich oder nur isomorph???
>
Im Allgemeinen bloß isomorph, was aber hier nicht so wichtig ist. Im Zweifelsfall immer das Isomorphie-Zeichen machen.
>
> Fall 2: Es existieren 7 [mm]S_3[/mm] Sylowgruppen
>
> Nach dem 1. Isomorphiesatz gilt:
>
> [mm]G=S_3*S_7[/mm] und [mm]S_3\cap S_7=\{e\}[/mm]
>
> Es gilt: [mm]$G/S_7=S_3*S_7\cong S_3/S_3\cap S_7=S_3/\{e\}\cong S_3$,[/mm]
> sodass [mm]$G/S_7\cong S_3.[/mm]
>
>
>
> Stimmt es jetzt???
Öhm, es stimmt zwar was da steht, damit ist aber noch nichts gezeigt. Du hast [mm]G\cong S_{7} \rtimes H[/mm], wobei H irgendeine 3-Sylowgruppe ist die auf [mm]S_{7}[/mm] durch Konjugation operiert. Sei [mm]H\cong [/mm], [mm]S_{7}\cong[/mm]. Es gilt [mm]xyx^{-1}=y^{i}[/mm]. Welche möglichen Werte kann i annehmen?
Viele Grüße,
Berieux
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