Nicht messbar < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei Y eine nicht lebesgue messbare Menge. Zeigen sie dass für alle beschränkten Intervalle I [mm] \subset \IR [/mm] gilt:
[mm] \lambda^{\star}(I)<\lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\Y).
[/mm]
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Hallo
Erstmal die erklärung
eine Menge A heißt lebesgue-messbar wenn [mm] \forall [/mm] I - I ein Intervall [mm] \subset \IR [/mm] beschränkt gilt das [mm] \lambda^{\star}(I)=\lambda^{\star}(I \cap A)+\lambda^{\star}(I\A). [/mm]
[mm] \lambda^{\star}=\inf{\sum_{k=1}^{\infty}(b_{i}-a_{i}| A \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} (a_{i},b_{i})}.
[/mm]
Wir haben uns in der Übung eine nichtmessbare Menge hergeleitet.
Wir betrachten die Relation ~ mit x ~ y [mm] \gdw [/mm] x-y [mm] \in \IQ
[/mm]
Wir haben dann gezeigt dass die Relation eine Äquivalenzrelation ist und das man zu jeder Äquivalenzklasse einen Vertreter aus [0,1] finden kann.
Wir wählen jetzt aus jeder Klasse einen Vertreter [mm] $y_{C}$ [/mm] aus und definierten [mm] $Y:=\{y_{C}|C \in \IR/ \sim \}$. [/mm] Diese Menge ist nich messbar.
Wenn ich jetzt aber zum Beispiel das intervall [5,7] mit Y schneide dann gilt gleichheit also quasi ein gegenbeispiel zur behauptung. wie geht so was oder versteh ich die aufgabe falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:16 Do 17.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei Y eine nicht lebesgue messbare Menge. Zeigen sie dass
> für alle beschränkten Intervalle I [mm]\subset \IR[/mm] gilt:
> [mm]\lambda^{\star}(I)<\lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\setminus Y).[/mm]
Wie du schon geschrieben hast, so stimmt das wohl nicht. Vielleicht muss man zusaetzlich $Y [mm] \subseteq [/mm] I$ fordern (in dem Fall gilt dann $I [mm] \cap [/mm] Y = Y$). (Die Bedingung $Y [mm] \cap [/mm] I [mm] \neq \emptyset$ [/mm] reicht nicht, ansonsten kann man wieder ein Gegenbeispiel finden indem man z.B. dein $Y$ vom Gegenbeispiel mit $[5, 6]$ vereinigt und $I = [5, 7]$ waehlt.)
LG Felix
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Also die Aufgabe wurde nun dahingehend geändert dass man zeigen soll das es mindestens 1 Intervall gibt sodass $ [mm] \lambda^{\star}(I)<\lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslash [/mm] Y). $. Das macht ja auch sinn denn gäbe es so ein Intervall nicht dann würde daraus folgen dass Y messbar wäre was es ja nicht ist. Und genau da liegt der Hase im Pfeffer begraben. Ich habe immer ein Problem die Rückrichtung zu zeigen also $ [mm] \lambda^{\star}(I) \ge \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslash [/mm] Y). $ Denn aus monotoniegründen folgt ja nur [mm] \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I \backslash Y)\le 2\cdot \lambda^{\star}(I) [/mm] für jedes beschränkte Intervall I. Dann habe ich es mit überdeckungen versucht. Also sei I [mm] \cap [/mm] Y [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i} [/mm] und I [mm] \backslash [/mm] Y [mm] \subset \bigcup_{i=1}^{\infty} B_{i}, [/mm] disjunkte Mengen. Dann folgt [mm] \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslash Y)\le \lambda^{\star}(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_{i})+\lambda^{\star}(\bigcup_{i=1}^{\infty}B_{i})=\lambda^{\star}(\bigcup_{i=1}^{\infty}(A_{i} \cup B_{i})\ge \lambda^{\star}(I). [/mm] Warscheinlich mach ich das zu kompliziert. Wenn mir jemand mal einen Tipp geben könnte ware das nett.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:37 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Also die Aufgabe wurde nun dahingehend geändert dass man
> zeigen soll das es mindestens 1 Intervall gibt sodass
> [mm]\lambda^{\star}(I)<\lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslash Y). [/mm].
D.h. du musst zeigen, dass immer [mm] $\lambda^\star(I) \le \lambda^\star(I \cap [/mm] Y) + [mm] \lambda^\star(I \setminus [/mm] Y)$ gilt. Daraus folgt dann mit der Definition von messbar (es gilt immer $=$), dass es im nicht-messbaren Fall ein Intervall geben muss mit $<$.
> Das macht ja auch sinn denn gäbe es so ein Intervall nicht
> dann würde daraus folgen dass Y messbar wäre was es ja
> nicht ist. Und genau da liegt der Hase im Pfeffer begraben.
> Ich habe immer ein Problem die Rückrichtung zu zeigen
Was fuer eine Rueckrichtung? Du solltest doch nur zeigen, dass aus nicht messbar folgt dass es ein $I$ gibt mit $<$.
> also
> [mm]\lambda^{\star}(I) \ge \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslash Y).[/mm]
Fuer eine messbare Menge $Y$? Fuer nicht-messbare gilt das i.A. ja gar nicht!
LG Felix
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Es geht darum, ob ich das einfach so hinschreiben kann.
Es gilt ja immer $ [mm] \lambda^{\star}(I)\le \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\Y). [/mm] $ Wegen Subaddivität des Lebesguemaßes.
Angenommen es gäbe so ein Intervall I nicht. Ich will dann zeigen dass $ [mm] \lambda^{\star}(I)\ge \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\Y). [/mm] $ woraus folgen würde das Y messbar wäre was ja im Widerspruch zur Voraussetzung steht, das Y nicht messbar ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 So 20.04.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Es geht darum, ob ich das einfach so hinschreiben kann.
> Es gilt ja immer [mm]\lambda^{\star}(I)\le \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\Y).[/mm]
> Wegen Subaddivität des Lebesguemaßes.
Vorsicht, du benutzt hier das aeussere Lebesgue-Mass (oder so), aber nicht das Lebesgue-Mass selber (nur wenn $I [mm] \setminus [/mm] Y$ und $I [mm] \cap [/mm] Y$ messbar sind, dann ist das alles das gleiche!).
> Angenommen es gäbe so ein Intervall I nicht.
Was fuer eins? Eins fuer das [mm] $\le$ [/mm] gilt? Eins fuer das $<$ gilt? Sei bitte etwas genauer, ansonsten kann ich dir nicht wirklich weiterhelfen weil ich nie weiss was du jetzt eigentlich meinst...
Sag mal genau was du jetzt annimmst, was du zeigen willst und was du benutzt dafuer.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:16 So 20.04.2008 | | Autor: | blascowitz |
Also gegen sei eine Menge Y die nicht messbar ist. Dann existiert ein Intervall I für das gilt $ [mm] \lambda^{\star}(I)< \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I \backslash [/mm] Y). $ Es gilt erstmal wegen Subaddivität des Lebesgue Maßes $ [mm] \lambda^{\star}(I)\le \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslash [/mm] Y). $ Es ist jetzt zu zeigen dass es mindestens 1 Intervall [mm] I_{k} [/mm] gibt für welches die Ungleichung scharf ist. Denn ansonsten könnte man ja für alle I die Ungleichung $ [mm] \lambda^{\star}(I)\ge \lambda^{\star}(I \cap Y)+\lambda^{\star}(I\backslashY). [/mm] $ zeigen woraus dann folgen würde dass Y messbar ist, was ja ein Widerspruch ist. So hätte ich mir das gedacht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 21.04.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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