Nicht total Differenzierbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Mo 31.07.2006 | | Autor: | AgentLie |
Hallo! Ich hätte eine Frage zur totalen Ableitung. Ich hab folgende Funktion gegeben.
f: [mm] \IR \to \IR
[/mm]
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= 0 \\ 0, & \mbox {für } (x,y) = 0\end{cases}
[/mm]
Der Gradient (überprüft) lautet:
Grad f(x) = [mm] \vektor{\bruch{x^{4} - 3x^{2}y^{2}}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}} \\ \bruch{-2yx^{3}}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}}}
[/mm]
Ich geh mal stark davon aus, dass die Funktion in (0,0) nicht total differenzierbar ist. Aber wie gehe ich da jetzt vor? Ich denke die Lösung ist einfach. Aber irgendwie ist mir nicht ganz klar, was ich machen muss...
Danke schonmal für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Mo 31.07.2006 | | Autor: | Centaur |
Hallo AgentLie,
Ich gehe davon aus, dass du vom [mm] \IR^{2} [/mm] in den [mm] \IR [/mm] abbildest, oder? 
Es gilt ja der Satz:
Wenn f in x total differenzierbar ist, dann ist f in x stetig.
Daraus folgt die Umkehrung:
Wenn f in x nicht stetig ist, dann ist f in x nicht total differenzierbar.
Das heißt, du müsstest einen Punkt x finden, für den f(x) nicht stetig ist. Die Null zu untersuchen bietet sich bei einer so definierten Funktion an.
Chris
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Chris,
> Ich gehe davon aus, dass du vom [mm]\IR^{2}[/mm] in den [mm]\IR[/mm]
> abbildest, oder?
>
> Es gilt ja der Satz:
>
> Wenn f in x total differenzierbar ist, dann ist f in x
> stetig.
>
> Daraus folgt die Umkehrung:
>
> Wenn f in x nicht stetig ist, dann ist f in x nicht total
> differenzierbar.
>
>
> Das heißt, du müsstest einen Punkt x finden, für den f(x)
> nicht stetig ist. Die Null zu untersuchen bietet sich bei
> einer so definierten Funktion an.
so weit so gut, aber die Funktion ist in $0$ stetig:
Es ist [mm] $\frac{x^3}{x^2 + y^2} [/mm] = [mm] \frac{x}{1 + (x/y)^2}$. [/mm] Wenn $(x, y) [mm] \to [/mm] (0, 0)$ geht, so bleibt [mm] $(x/y)^2$ [/mm] immer [mm] $\ge [/mm] 0$. Damit kann man den Betrag des Bruches durch $|x|$ nach oben abschaetzen. Aber $|x| [mm] \to [/mm] 0$ fuer $(x, y) [mm] \to [/mm] (0, 0)$, womit der ganze Bruch gegen 0 geht.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hoi!
> Hallo! Ich hätte eine Frage zur totalen Ableitung. Ich hab
> folgende Funktion gegeben.
>
> f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{x^{3}}{x^{2}+y^{2}}, & \mbox{für } (x,y) \not= 0 \\ 0, & \mbox {für } (x,y) = 0\end{cases}[/mm]
>
> Der Gradient (überprüft) lautet:
> Grad f(x) = [mm]\vektor{\bruch{x^{4} - 3x^{2}y^{2}}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}} \\ \bruch{-2yx^{3}}{{(x^{2}+y^{2})}^{2}}}[/mm]
>
> Ich geh mal stark davon aus, dass die Funktion in (0,0)
> nicht total differenzierbar ist. Aber wie gehe ich da jetzt
> vor? Ich denke die Lösung ist einfach. Aber irgendwie ist
> mir nicht ganz klar, was ich machen muss...
Gehe wie folgt vor:
- Die Funktion ist im Nullpunkt partiell diffbar (dazu setze fuer $x$ bzw. $y$ jeweils 0 ein; die entstehende Funktion laesst sich in 0 fortsetzen und ist dort diffbar).
- Berechne die partiellen Ableitungen im Nullpunkt. Wenn die Funktion total diffbar ist, dann geben die partiellen Ableitungen die totale Ableitung im Nullpunkt.
- Nun schau dir die Definition von `totaler Differenzierbarkeit' an. Wenn $f$ im Nullpunkt total diffbar ist, dann muss [mm] $\frac{f(x) - f(0) - (Grad f(0)) x}{\| x \|} [/mm] = 0$ sein. Ist es das?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:39 Mo 31.07.2006 | | Autor: | AgentLie |
Hallo nochmal! Danke schonmal für die vielen Antworten. Trotzdem ist mir das noch nicht so ganz klar. Ist die partielle Ableitung im Nullpunkt nicht einfach 0, bzw. grad f(x) = 0 , 0 ? Wenn ich denn wie da es geschrieben hast die Definition der totalen Ableitung anwende, also:
$ [mm] \frac{f(h) - f(0) - (Grad f(0))h}{\| h \|} [/mm] = 0 $ (ich setze einfach h = (h,h) und [mm] \| [/mm] h [mm] \| [/mm] als die Supremumsnorm von h)
Aber es gilt (oben eingesetzt): $ [mm] \frac{h^{3}/2h^{2}}{ h } \not= [/mm] 0 $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:58 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Hallo nochmal! Danke schonmal für die vielen Antworten.
> Trotzdem ist mir das noch nicht so ganz klar. Ist die
> partielle Ableitung im Nullpunkt nicht einfach 0, bzw. grad
> f(x) = 0 , 0 ?
Nein: Es ist $f(x, 0) = [mm] \frac{x^3}{x^2} [/mm] = x$ und somit ist [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0, [/mm] 0) = 1$.
(Jedoch ist [mm] $\frac{\partial f}{\partial y}(0, [/mm] 0) = 0$.)
> Wenn ich denn wie da es geschrieben hast die
> Definition der totalen Ableitung anwende, also:
> [mm]\frac{f(h) - f(0) - (Grad f(0))h}{\| h \|} = 0[/mm] (ich setze
> einfach h = (h,h) und [mm]\|[/mm] h [mm]\|[/mm] als die Supremumsnorm von h)
> Aber es gilt (oben eingesetzt): [mm]\frac{h^{3}/2h^{2}}{ h } \not= 0[/mm]
Hier wuerd dann [mm] $\frac{f(h) - f(0) - (Grad f(0)) h}{\| h \|} [/mm] = [mm] \frac{h^3/(2 h^2) - h}{h} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2}$ [/mm] sein, also ebenfalls [mm] $\neq [/mm] 0$ und auch nicht [mm] $\to [/mm] 0$ fuer $h [mm] \to [/mm] 0$.
Bis auf den Gradienten im Nullpunkt und Folgefehlern wars also richtig :)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:06 Mo 31.07.2006 | | Autor: | AgentLie |
Super, danke. Dann stellt sich mir nur noch eine Frage: Wie kommt man zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt. Ich hab eigentlich einfach nur die Werte der Funktion bei (0,0) genommen und dann noch x bzw. y abgeleitet. Aber das scheint wohl falsch zu sein. Ich kann garnicht nachvollziehen, warum du f(x,0) bzw. f(0,y) ableitest?!? Gruß, Michael
PS: Das scheint wohl einfach die partielle Ableitung in (0,0) mit dem Differenzenquotien zu sein, oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 31.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Michael!
> Super, danke. Dann stellt sich mir nur noch eine Frage: Wie
> kommt man zu den partiellen Ableitungen im Nullpunkt. Ich
> hab eigentlich einfach nur die Werte der Funktion bei (0,0)
> genommen und dann noch x bzw. y abgeleitet. Aber das
> scheint wohl falsch zu sein. Ich kann garnicht
> nachvollziehen, warum du f(x,0) bzw. f(0,y) ableitest?!?
Die partielle Ableitung von $f(x, y)$ in [mm] $(x_0, y_0)$ [/mm] nach $x$ (nach $y$ gehts genauso) ist ja so definiert, das man sich die Funktion [mm] $f(\bullet, y_0) [/mm] : [mm] \IR \to \IR$, [/mm] $x [mm] \mapsto [/mm] f(x, [mm] y_0)$ [/mm] anschaut und diese in $x = [mm] x_0$ [/mm] ableitet. Fuer [mm] $(x_0, y_0) [/mm] = (0, 0)$ schaust du dir also die Funktion [mm] $f(\bullet, [/mm] 0) : x [mm] \mapsto [/mm] f(x, 0) = [mm] \frac{x^3}{x^2 + 0} [/mm] = x$ an. Diese abgeleitet ist immer $1$, also insbesondere auch fuer $x = [mm] x_0 [/mm] = 0$. Damit ist [mm] $\frac{\partial f}{\partial x}(0, [/mm] 0) = 1$.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mo 31.07.2006 | | Autor: | AgentLie |
Super, ich hab gerade nochmal eine ähnliche Aufgabe gerechnet und es hat alles geklappt. Vielen dank.
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