Nichtdefinierte Stelle < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:28 Di 03.11.2009 | | Autor: | begker |
| Aufgabe |
Gegeben sind die reellen Funktionen fa durch die Gleichung
0.5x³-x²-1.5x für x kleiner bzw. gleich 1 mit Dfa = R; a E R
fa(x)=
x²-8ax+4a² für x größer 1
Die Graphen der Funktion fa heißen Gfa.
1. Bestimmen Sie rechnerisch, welche Werte a annehmen muss, damit die Funktion fa an der Stelle x=1 stetig ist.
Lösung: a=1.5; a=0.5
2. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Funktion fa für a=0.5 an der Stelle x=1 auch differenzierbar ist.
3. Skizzieren Sie den Graphen Gf0.5 der Funktion f0.5 in ein geeignetes Koordinatensystem.
4. Geben Sie die Gleichung der Tangente an der Stelle x=1 an.
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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu 2) Frage: Eigentlich gilt doch x größer 1 in der zweiten Funktionsgleichung. Zumindest wurde das in der Aufgabenstellung so festgelegt. Folglich ist doch die Stelle x=1 gar nicht definiert und man kann dann auch nicht ableiten, oder? Die erste Funktionsgleichung könnte man an der Stelle x=1 ableiten, da die Stelle definiert ist, aber in diese Funktion kann ich nicht a=0.5 einsetzen.
Sollte ich trotzdem einfach die zweite Funktion (die dann x²-4x+1 lautet) einfach ableiten, auch wenn die Stelle x=1 laut Aufgabenstellung nicht definiert ist?
ZU 3)Frage: Soll hier nur x²-4x+1 skizziert werden? Ich hätte einfach ein paar x-Werte festgelegt und die Funktionswerte dazu errechnet.
Zu 4) Frage: Hier müsste ich doch die erste Funktion ableiten, da nur für diese Funktion x=1 definiert ist.
Lösung: y=-2x
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:41 Di 03.11.2009 | | Autor: | fred97 |
[mm] f_a [/mm] ist für x [mm] \ge [/mm] 1 definiert durch [mm] $f_a(x) [/mm] = [mm] 0.5x^3-x^2-1.5x$
[/mm]
Also ist [mm] f_a(1) [/mm] = -2
Für x>1 ist [mm] $f_a'(x) [/mm] = 2x-8a$ , also [mm] \limes_{x\rightarrow 1+0}f_a'(x) [/mm] = 2-8a
Für x<1 ist [mm] $f_a'(x) [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}x^2-2x -\bruch{3}{2}$ [/mm] , also [mm] \limes_{x\rightarrow 1-0}f_a'(x) [/mm] = -2
Nun gilt:
[mm] f_a [/mm] ist in x=1 differenzierbar [mm] \gdw \limes_{x\rightarrow 1+0}f_a'(x) [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow 1-0}f_a'(x) \gdw [/mm] 2-8a= -2 [mm] \gdw [/mm] a= 1/2
FRED
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