Nichtexistenz HP -> Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:18 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
| Aufgabe | Folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes einer Folge positiver Zahlen [mm] x_n [/mm] mit
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Beweis oder Gegenbeispiel |
Hallo!
Da es sich um eine Folge positiver Zahlen handelt, existiert kein Grenzwert, da kein Häufungspunkt existiert, also ist die obige Aussage korrekt.
Für den Beweis dessen, bin ich mir unsicher, wie ich es genau stricken muss.
Ich denke, dass man einen Gegenbeweis macht, also annimmt es existiere ein HP und damit ein grenzwert, was im Widerspruch stünde zu unendlich.
Leider weiss ich nicht genau, wie ich es formulieren muss.
Beginn vermutlich mit der Definition des Häufungspunktes:
h E C heisst Häufungspunkt der Folge [mm] x_n [/mm] wenn jede Epsilonumgebung K (h) von h unendlich viele Folgenglieder [mm] x_n [/mm] enthält,
das heisst wenn gilt:
[mm] |h-x_n| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für unendlich viele n
leider weiss ich nun nicht wie ich den Beweis aufziehen soll.
Irgendwie muss ja noch die Beschränktheit mit rein,
also dass es eine Schranke s gibtmit
[mm] |x_n-s [/mm] | < [mm] \varepsilon [/mm] für alle n>N
oder dass ein
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n= [/mm] s exisitiert. (oder in diesemfall ja nicht existiert was ja der gegenbeweis wäre)
kann mir jemand helfen?
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 So 27.09.2009 | | Autor: | abakus |
> Folgt aus der Nichtexistenz eines Häufungspunktes einer
> Folge positiver Zahlen [mm]x_n[/mm] mit
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n[/mm] = [mm]\infty[/mm]
> Beweis oder Gegenbeispiel
> Hallo!
>
> Da es sich um eine Folge positiver Zahlen handelt,
> existiert kein Grenzwert, da kein Häufungspunkt existiert,
> also ist die obige Aussage korrekt.
>
> Für den Beweis dessen, bin ich mir unsicher, wie ich es
> genau stricken muss.
>
> Ich denke, dass man einen Gegenbeweis macht, also annimmt
> es existiere ein HP und damit ein grenzwert, was im
> Widerspruch stünde zu unendlich.
> Leider weiss ich nicht genau, wie ich es formulieren
> muss.
Hallo,
ich erinnere mich dunkel an den Satz von Bolzano-Weierstrass:
"Jede unendliche beschränkte Menge hat einen Häufungspunkt".
Aus der Nichtexistent des Häufungspunktes und der Nichtnegativität der Folgenglieder folgt, dass jedes Intervall von 0 bis zu irgendeiner Zahl n nur endlich viele Elemente enthalten darf. Damit sind unendlich viele Elemente größer als n (und n kann beliebig groß gewählt werden).
Gruß Abakus
>
>
> Beginn vermutlich mit der Definition des Häufungspunktes:
> h E C heisst Häufungspunkt der Folge [mm]x_n[/mm] wenn jede
> Epsilonumgebung K (h) von h unendlich viele Folgenglieder
> [mm]x_n[/mm] enthält,
> das heisst wenn gilt:
>
> [mm]|h-x_n|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für unendlich viele n
>
> leider weiss ich nun nicht wie ich den Beweis aufziehen
> soll.
> Irgendwie muss ja noch die Beschränktheit mit rein,
>
> also dass es eine Schranke s gibtmit
> [mm]|x_n-s[/mm] | < [mm]\varepsilon[/mm] für alle n>N
> oder dass ein
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} x_n=[/mm] s exisitiert. (oder in
> diesemfall ja nicht existiert was ja der gegenbeweis
> wäre)
>
> kann mir jemand helfen?
>
> danke!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:40 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
und einfach Bolzano weierstrass anzugeben reicht als beweis?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 So 27.09.2009 | | Autor: | abakus |
> und einfach Bolzano weierstrass anzugeben reicht als
> beweis?
Habe ich denn nur den Namen des Satzes genannt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:00 So 27.09.2009 | | Autor: | katjap |
ne klar hast du nicht.
ich meinte mit meiner frage auch nur, ob es dann reicht etwas in normaler sprache zu formulieren, und nicht, dass man noch irgendeinen Epsilonbeweis aus der Tasche zaubern muss, wenn die SItuation eigentlich klar ist, und mithilfe von schon bewiesenen Sätzen gelöst werden kann.
danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:53 Mo 28.09.2009 | | Autor: | fred97 |
Was bedeutet denn
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] $ = $ [mm] \infty [/mm] $ ?
Es bedeutet: Zu jedem C>0 ex. ein N = N(C) [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] x_n [/mm] > C für n > N.
Nun nimm mal an, [mm] (x_n) [/mm] strebe nicht gegen [mm] \infty. [/mm] Dann gibt es ein [mm] C_0 [/mm] mit
[mm] x_n \le C_0 [/mm] für unendlich viele n.
Also enthält [mm] (x_n) [/mm] eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] mit [mm] $0
Bolzano _ Weierstraß sagt nun: [mm] (x_{n_k}) [/mm] besitzt einen Häufungspunkt.
Besitzt dann [mm] (x_n) [/mm] auch einen Häufungspunkt ????
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:13 Mo 28.09.2009 | | Autor: | katjap |
Danke,
irgendsoeine Formulierung hatte ich gesucht.
gruss katja
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