Nichtexistenz einer Lösung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Do 04.12.2014 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Zeige die Nichtexistenz einer Lösung der DGL y'=h(y), wobei h:[a,b] --> IR definiert als
h(y)=5 für y [mm] \in \IQ [/mm] und h(y)=3 für y [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ [/mm] |
Hallo,
ich bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe.
Ich würde zunächst einmal annehmen, es gebe eine Lösung y. Dann gilt y'=h(y) [mm] \in [/mm] {3,5}. Dann muss ja schon y'=5 oder y'=3 sein. Im ersten Fall gibt es eine Konstante C mit y=x+C. Wählt man nun aber ein [mm] \alpha \in [/mm] [a,b] mit [mm] \alpha+C \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] dann gilt:
[mm] 3=y'(\alpha)=h(y(\alpha))=h(\alpha+C)=5 [/mm] --> Widerspruch.
Was meint ihr dazu?
Alternativ könnte man vielleicht versuchen zu zeigen , dass der Existenzsatz von Peano nicht gilt, also dass h nicht stetig ist. Oder folgt das schon aus obigem?
Danke für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:54 Fr 05.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Zeige die Nichtexistenz einer Lösung der DGL y'=h(y),
> wobei h:[a,b] --> IR definiert als
> h(y)=5 für y [mm]\in \IQ[/mm] und h(y)=3 für y [mm]\in \IR[/mm] \ [mm]\IQ[/mm]
> Hallo,
>
> ich bräuchte Hilfe bei obiger Aufgabe.
> Ich würde zunächst einmal annehmen, es gebe eine Lösung
> y. Dann gilt y'=h(y) [mm]\in[/mm] {3,5}. Dann muss ja schon y'=5
> oder y'=3 sein. Im ersten Fall gibt es eine Konstante C mit
> y=x+C. Wählt man nun aber ein [mm]\alpha \in[/mm] [a,b] mit
> [mm]\alpha+C \in \IR[/mm] \ [mm]\IQ,[/mm] dann gilt:
> [mm]3=y'(\alpha)=h(y(\alpha))=h(\alpha+C)=5[/mm] --> Widerspruch.
> Was meint ihr dazu?
Deine Idee ist nicht übel, Du hast aber unpräzise und unvollständig argumentiert.
>
> Alternativ könnte man vielleicht versuchen zu zeigen ,
> dass der Existenzsatz von Peano nicht gilt, also dass h
> nicht stetig ist.
h ist nicht stetig, das folgt aus dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen.
> Oder folgt das schon aus obigem?
Mit Peano funktioniert das nicht !
Nimm an, die DGL hätte eine Lösung y.
Fall 1: y ist konstant. Dann ist entweder y' konstant =3 oder y' ist konstant =5.
Im ersten Fall ist y von der Form y(x)=3x+b und im zweiten Fall von der Form y(x)=5x+c. In beiden Fällen ist y also nicht konstant, Widerspruch.
Fall 2: y ist nicht konstant. Also nimmt y mindestens zwei verschiedene Wert [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] an. Es gelte etwa [mm] y_1
y ist als differenzierbare Funktion stetig, als gilt nach dem Zwischenwertsatz für stetige Funktionen:
das Intervall [mm] [y_1,y_2] [/mm] liegt im Bild von y.
Damit nimmt y sowohl rationale , als auch irrationale Werte an.
Damit ist die Bildmenge von y' gerade die Menge [mm] \{3,5\}.
[/mm]
Nun besagt aber der Satz von Darboux (Zwischenwertsatz für Ableitungen):
die Bildmenge von y' enthält das Intervall [3,5]
Widerspruch !
(![[]](/images/popup.gif) http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_analysis_1/21_mittelwertsaetze.pdf)
FRED
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> Danke für eure Hilfe!
>
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Angenommen, es gäbe eine Lösung y : I=[a,b] --> [mm] \IR [/mm] obiger Gleichung auf einem Intervall I. Dann
gilt y'(x) = h(y(x)) [mm] \in [/mm] {3, 5} für alle x [mm] \in [/mm] I. Das ist aber nur möglich, wenn
entweder y'(x) = 3 für alle x [mm] \in [/mm] I oder y'(x) = 5 für alle x [mm] \in [/mm] I gilt. Im ersten Fall (y'(x) = 5 für alle x [mm] \in [/mm] I) gibt es dann eine Konstante C [mm] \in \IR [/mm] mit y(x) = 5x+C für alle x [mm] \in [/mm] I. Wählt man nun ein [mm] \alpha \in [/mm] I mit 5 [mm] \alpha [/mm] +C [mm] \in \IR [/mm] \ [mm] \IQ, [/mm] so erhält man den Widerspruch
5 = [mm] y'(\alpha) [/mm] = [mm] f(y(\alpha)) [/mm] = f(5 [mm] \alpha+ [/mm] C) = 3.
Im zweiten Fall gilt analog y(x) = 3x+C für ein C [mm] \in \IR [/mm] und man kann dieses Mal ein [mm] \alpha \in [/mm] I mit 3 [mm] \alpha [/mm] + C [mm] \in \IQ [/mm] wählen, um wieder den Widerspruch
3 = y' ( [mm] \alpha) [/mm] = f(3 [mm] \alpha [/mm] + C) = 5
zu erhalten.
Also kann die gegebene Differentialgleichung keine Lösung besitzen.
Ich habe die Lösung jetzt (hoffentlich) etwas präziser gefasst. Wäre das so ok? Oder an welcher Stelle scheitert dieser Beweis?
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Was meint ihr zu dieser loesung? Oder muss ich diese noch um freds Antwort ergänzen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 So 07.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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@ Fred: Was meinst du dazu?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 08.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 So 07.12.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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