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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:51 Sa 01.06.2013 | | Autor: | medphys |
| Aufgabe | a) Untersuchen Sie die Auflösbarkeit der Gleichung
[mm] e^x+y^3=0 [/mm] nach x bzw. y. Geben Sie die expliziten Auflösungsfunktionen an
b) Man betrachte das Gleichungssystem
[mm] 2vx^2+2wy^2=3
[/mm]
2xy-2vv=-5
und dessen spezielle Lösung [mm] (v_0,w_0,x_0,y_0)^{T}=(1,2,-1,\frac{1}{2})^{T}
[/mm]
i) Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem in diesem Punkt lokal nach [mm] (x,y)^{T} [/mm] auflösbar ist.
ii) Geben Sie für die lokale Auflösungsfunktion [mm] x(\cdot) [/mm] und [mm] y(\cdot) [/mm] jeweils das Taylorpolynom 1. Ordnung im Entwicklungspunkt [mm] (v_0,w_0)^{T} [/mm] an. |
Hallo, ich brauche bei der Aufgabe ein bisschen Hilfe.
Also u a):
Auflösbarkeit nach y: [mm] y=\sqrt[3]{-e^x}
[/mm]
Auflösbarkeit nach x: Weiß ich leider garnicht, wie ich anfangen soll.
Im Skript hatten wir ein Beispiel bei dem wir dann eine Funktion aufgestellt haben und die partielle Ableitung nach der "kritischen" Variablen gebildet haben. Das wäre in diesem Fall:
[mm] F(x,y)=e^x+y^3 [/mm] , [mm] F:\mathbb R^2 \rightarrow \IR
[/mm]
[mm] \frac{\partial F}{\partial x}(x,y)=e^x
[/mm]
Diese partielle Ableitung haben wir =0 gesetzt. Ich habe auch ungefähr eine Vorstellung warum wir das machen, komme hier aber nicht weiter, weil ich auch keine weiteren Infos im Skript finde.
zu b) (i) Da war ich mir ein bisschen unsicher, aber ich habe einfach für v und w die werte aus der speziellen Lösung eingesetzt und x und y bestimmt. Kann man das so machen?
zu b) (ii) Habe ich leider keinen Ansatz.
Danke schonmal für eure Hilfe
medphys
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:28 Sa 01.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> a) Untersuchen Sie die Auflösbarkeit der Gleichung
> [mm]e^x+y^3=0[/mm] nach x bzw. y. Geben Sie die expliziten
> Auflösungsfunktionen an
>
> b) Man betrachte das Gleichungssystem
>
> [mm]2vx^2+2wy^2=3[/mm]
> 2xy-2vv=-5
> und dessen spezielle Lösung
> [mm](v_0,w_0,x_0,y_0)^{T}=(1,2,-1,\frac{1}{2})^{T}[/mm]
>
> i) Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem in diesem Punkt
> lokal nach [mm](x,y)^{T}[/mm] auflösbar ist.
> ii) Geben Sie für die lokale Auflösungsfunktion [mm]x(\cdot)[/mm]
> und [mm]y(\cdot)[/mm] jeweils das Taylorpolynom 1. Ordnung im
> Entwicklungspunkt [mm](v_0,w_0)^{T}[/mm] an.
> Hallo, ich brauche bei der Aufgabe ein bisschen Hilfe.
> Also u a):
> Auflösbarkeit nach y: [mm]y=\sqrt[3]{-e^x}[/mm]
Kannst du diesen Term immer (also für alle x) berechnen?
> Auflösbarkeit nach x: Weiß ich leider garnicht, wie ich
> anfangen soll.
Subtrahiere zuerst [mm] y^{3}, [/mm] danach solltest du dir mal Gedanken zu der Umkehrung der Exponentialfunktion generell und, da hier die Basis e, also die eulersche Zahl ist, hat dieser allgemeine L... sogar einen speziellen Namen (L... ...)
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Sa 01.06.2013 | | Autor: | medphys |
Danke für die schnelle Antwort.
> > Auflösbarkeit nach y: [mm]y=\sqrt[3]{-e^x}[/mm]
>
> Kannst du diesen Term immer (also für alle x) berechnen?
Mir fällt auf jeden Fall kein x ein für das es nicht funktioniert.
> Subtrahiere zuerst [mm]y^{3},[/mm] danach solltest du dir mal
> Gedanken zu der Umkehrung der Exponentialfunktion generell
> und, da hier die Basis e, also die eulersche Zahl ist, hat
> dieser allgemeine L... sogar einen speziellen Namen (L...
> ...)
damit ist [mm] e^x=-y^3 [/mm] und [mm] x=ln(-y^3) [/mm] , damit ist y eingeschränkt auf y<0
Richtig?
medphys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Sa 01.06.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Danke für die schnelle Antwort.
>
> > > Auflösbarkeit nach y: [mm]y=\sqrt[3]{-e^x}[/mm]
> >
> > Kannst du diesen Term immer (also für alle x) berechnen?
>
> Mir fällt auf jeden Fall kein x ein für das es nicht
> funktioniert.
Warum ist das so? Eigentlich heisst es doch, dass man die Wurzel aus negativen Zahlen nicht ziehen kann, und [mm] -e^{x} [/mm] ist definitiv negativ.
Schreibe das ganze zuerst um:
[mm] e^{x}=-y^{3}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sqrt[3]{e^{x}}=\sqrt[3]{-y^{3}}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sqrt[3]{e^{x}}=\underbrace{\sqrt[3]{-1}}_{\star}\cdot\sqrt[3]{y^{3}}
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \sqrt[3]{e^{x}}=-1\cdot\sqrt[3]{y^{3}}
[/mm]
Der markierte Ausdruck [mm] \sqrt[3]{-1} [/mm] ist mathematisch nicht ganz sauber, ob man bei ungerade Wurzelexponeten negative Radikanden zulässt, kann zu einer Menge Diskussionsstoff führen. Unkommentiert sollte man das auf jeden Fall nicht lassen.
[mm] \sqrt[3]{-1} [/mm] ist eine Lösung der Gleichung [mm] x^{3}=-1, [/mm] und diese Gleichung hat (offensichtlich) die Lösung x=-1, denn [mm] (-1)^{3}=-1.
[/mm]
>
> > Subtrahiere zuerst [mm]y^{3},[/mm] danach solltest du dir mal
> > Gedanken zu der Umkehrung der Exponentialfunktion generell
> > und, da hier die Basis e, also die eulersche Zahl ist, hat
> > dieser allgemeine L... sogar einen speziellen Namen (L...
> > ...)
>
> damit ist [mm]e^x=-y^3[/mm] und [mm]x=ln(-y^3)[/mm] , damit ist y
> eingeschränkt auf y<0
> Richtig?
Das ist korrekt, denn dann ist [mm] -y^{3}>0 [/mm] und du kannst den Logarithmus anwenden.
>
> medphys
Marius
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Hallo medphys,
> b) Man betrachte das Gleichungssystem
>
> [mm]2vx^2+2wy^2=3[/mm]
> 2xy-2vv=-5
> und dessen spezielle Lösung
> [mm](v_0,w_0,x_0,y_0)^{T}=(1,2,-1,\frac{1}{2})^{T}[/mm]
>
> i) Zeigen Sie, dass das Gleichungssystem in diesem Punkt
> lokal nach [mm](x,y)^{T}[/mm] auflösbar ist.
> ii) Geben Sie für die lokale Auflösungsfunktion [mm]x(\cdot)[/mm]
> und [mm]y(\cdot)[/mm] jeweils das Taylorpolynom 1. Ordnung im
> Entwicklungspunkt [mm](v_0,w_0)^{T}[/mm] an.
> Hallo, ich brauche bei der Aufgabe ein bisschen Hilfe.
> zu b) (i) Da war ich mir ein bisschen unsicher, aber ich
> habe einfach für v und w die werte aus der speziellen
> Lösung eingesetzt und x und y bestimmt. Kann man das so
> machen?
>
Das ist eine Bedingung, die gelten muss.
Es gibt aber noch eine zweite Bedinung,
damit das entstehende Gleichungssystem nach x und y auflösbar ist.
Linearisiere dazu obiges Gleichungssystem.
> zu b) (ii) Habe ich leider keinen Ansatz.
Ist das Gleichungssytem in der Form
[mm]F\left(v,w,x,y\right)=0[/mm]
gegeben, so betrachte
[mm]F\left(\ v,\ w, \ x\left(v,w\right), \ y\left(v,w\right) \ \right)=0[/mm]
Leite diesen Ausdruck partiell nach v und w ab.
Ermittle daraus [mm]x_{v}, \ x_{w}, \ y_{v}, \ y_{w}[/mm]
> Danke schonmal für eure Hilfe
>
> medphys
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 01.06.2013 | | Autor: | medphys |
> Es gibt aber noch eine zweite Bedinung,
> damit das entstehende Gleichungssystem nach x und y
> auflösbar ist.
>
> Linearisiere dazu obiges Gleichungssystem.
Verwende ich zur Linearisierung dann den Startvektor [mm] \vec{x}=(-1,\frac{1}{2})^{T} [/mm] ?
medphys
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 01.06.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Es gibt aber noch eine zweite Bedinung,
> > damit das entstehende Gleichungssystem nach x und y
> > auflösbar ist.
> >
> > Linearisiere dazu obiges Gleichungssystem.
> Verwende ich zur Linearisierung dann den Startvektor
> [mm]\vec{x}=(-1,\frac{1}{2})^{T}[/mm] ?
>
> medphys
Was mein Vorredner mit "Linearisieren" gemeint hat, ist mir nicht klar.
Es ist der Satz über implizit definierte Funktionen gefragt,
FRED
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