Nichtlineare Gleichung mit 4 V < Nichtlineare Gleich. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Do 13.09.2007 | | Autor: | mikex1 |
| Aufgabe | x1*x2-f1= 0 ;
(x3/x1)+(x4/x2)-f2=0;
[mm] x1^2+x2^2+4*x1*x2*x3*x4-f3=0; [/mm]
x3*x1+x4*x2-f4 = 0; |
Hallo!
Bräuchte mal Hilfe: Hab vier nichtlineare Gleichungen gegeben mit vier Unbekannten-> wie löse ich diese Aufgabe am besten?
f1,f2,f3 und f4 sind bekannt!
Thx im Vorraus!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> x1*x2-f1= 0 ;
> (x3/x1)+(x4/x2)-f2=0;
> [mm]x1^2+x2^2+4*x1*x2*x3*x4-f3=0;[/mm]
> x3*x1+x4*x2-f4 = 0;
> gegeben mit vier Unbekannten-> wie löse ich diese Aufgabe
> am besten?
>
> f1,f2,f3 und f4 sind bekannt!
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Etwas richtig Schnelles sehe ich da nicht.
Ich würde den mühseligen Weg beschreiten, daß ich nacheinander die Variablen eliminiere.
Also z.B.
1.Gleichung nach [mm] x_1 [/mm] auflösen und dieses [mm] x_1 [/mm] in die verbleibenden drei Gleichungen einsetzen.
Man behält drei Gleichungen mit drei Variablen.
2. Eine der 3 Gleichungen nach der nächsten Variablen auflösen, in die verbleibenden einsetzen. Man behält 2 Gleichungen mit 2 Variablen.
usw.
Zunächst aber würde ich in der zweiten Gl. die Brüche verschwinden lassen durch Multiplizieren mit [mm] x_1x_2. [/mm] Man erhält das GS
1. [mm] x_1*x_2-f_1= [/mm] 0 ;
2. [mm] x_2x_3+x_1x_4-f_2x_1x_2=0;
[/mm]
3. [mm] x_1^2+x_2^2+4*x_1*x_2*x_3*x_4-f_3=0
[/mm]
4. [mm] x_1x_3+x_2*x_4-f_4 [/mm] = 0
Für [mm] x_2\not=0 [/mm] erhält man aus 1:
1'. [mm] x_1=\bruch{f_1}{x_2}
[/mm]
Einsetzen:
2'. [mm] x_2x_3+\bruch{f_1}{x_2}x_4-f_2\bruch{f_1}{x_2}x_2=0;
[/mm]
3'. [mm] (\bruch{f_1}{x_2})^2+x_2^2+4*\bruch{f_1}{x_2}*x_2*x_3*x_4-f_3=0
[/mm]
4'. [mm] \bruch{f_1}{x_2}x_3+x_2*x_4-f_4 [/mm] = 0
Brüche "wegmultiplizieren":
2''. [mm] x_2^2x_3+f_1x_4-f_2f_1x_2=0;
[/mm]
3''. [mm] f_1^2+x_2^4+4*f_1x_2^2x_3*x_4-f_3x_2^2=0
[/mm]
4''. [mm] f_1x_3+x_2^2*x_4-f_4x_2 [/mm] = 0
Nun nach der nächsten Variablen auflösen, z.B. nach [mm] x_3 [/mm] in 4''.
So müßte man zum Ziel kommen.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Mo 17.09.2007 | | Autor: | mikex1 |
Schade, dachte da gibt es irgendwie einen Spezialtrick, dachte auch schon mit dem Newtonverfahren gehts aber trotzdem vielen Dank Angela für Tip!
Gruß von Mike
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:03 Di 18.09.2007 | | Autor: | mikex1 |
| Aufgabe | | [mm] -x_{2}^7-4*f_{4}^2*x_{2}^6+4*f_{4}*x_{2}^6+f_{1}^2*x_{2}^4+4*f_{1}^2*f_{2}*f_{4}*x_{2}^4-4*f_{1}^2*f_{2}*x_{2}^4-f_{1}^2*x_{2}^3-f_{3}*x_{2}^3-f_{3}*x_{2}^2+f_{1}^4=0 [/mm] |
Hallo!
Hab jetzt den Rat von Angela befolgt und soweit wie oben aufgeführt zusammengefasst und eliminiert, leider komm ich jetzt nicht mehr weiter!:(
Kann mir jemand vielleicht einen Tip oder Rat geben?
Gruß Mike
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> [mm]-x_{2}^7-4*f_{4}^2*x_{2}^6+4*f_{4}*x_{2}^6+f_{1}^2*x_{2}^4+4*f_{1}^2*f_{2}*f_{4}*x_{2}^4-4*f_{1}^2*f_{2}*x_{2}^4-f_{1}^2*x_{2}^3-f_{3}*x_{2}^3-f_{3}*x_{2}^2+f_{1}^4=0[/mm]
> Hallo!
> Hab jetzt den Rat von Angela befolgt und soweit wie oben
> aufgeführt zusammengefasst und eliminiert, leider komm ich
> jetzt nicht mehr weiter!:(
> Kann mir jemand vielleicht einen Tip oder Rat geben?
Hallo,
nachgerechnet habe ich das da oben nicht...
Du hast jetzt ja schon etwas Gutes erreicht: eine Gleichung mit nur noch einer Variablen.
Ich sortiere das Ganze jetzt noch nach Potenzen von [mm] x_2:
[/mm]
[mm] -x_{2}^7-4*f_{4}^2*x_{2}^6+4*f_{4}*x_{2}^6+f_{1}^2*x_{2}^4+4*f_{1}^2*f_{2}*f_{4}*x_{2}^4-4*f_{1}^2*f_{2}*x_{2}^4-f_{1}^2*x_{2}^3-f_{3}*x_{2}^3-f_{3}*x_{2}^2+f_{1}^4=0
[/mm]
[mm] <==>-x_{2}^7+(-4*f_{4}+4*f_{4})x_2^6+(f_{1}^2+4*f_{1}^2*f_{2}*f_{4}-4*f_{1}^2*f_{2})x_2^4+(-f_{1}^2-f_{3})x_2^3-f_{3}*x_{2}^2+f_{1}^4=0
[/mm]
<==> [mm] -x_{2}^7+(f_{1}^2+4*f_{1}^2*f_{2}*f_{4}-4*f_{1}^2*f_{2})x_2^4+(-f_{1}^2-f_{3})x_2^3-f_{3}*x_{2}^2+f_{1}^4=0
[/mm]
<==> [mm] -x_{2}^7+f_{1}^2(1+4*f_{2}*f_{4}-4*f_{2})x_2^4+(-f_{1}^2-f_{3})x_2^3-f_{3}*x_{2}^2+f_{1}^4=0
[/mm]
So ist es immerhin schon etwas übersichtlicher.
Du hast hier nun ein Polynom vom Grad 7, und wenn Deine Konstanten nicht sehr günstig sind, wird man das kaum per Hand berechnen können.
Hier ist dann die Stelle, an welcher Du ein Dir bekanntes Näherungsverfahren zur Nullstellenbestimmung einsetzen mußt. Dann hast Du [mm] x_2, [/mm] und mußt Dir "rückwärts" die anderen Variablen erobern.
Allerdings beschleicht mich der Verdacht, daß Du Numeriker für Dein ursprüngliches Gleichungssystem wohl doch irgendetwas Geschickteres in ihrem Kistchen haben. Ich hab' da keine Ahnung.
Ich stell's auf teilweise beantwortet.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:08 Di 18.09.2007 | | Autor: | mikex1 |
Danke für die schnelle Hilfe!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:43 Di 18.09.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> x1*x2-f1= 0 ;
> (x3/x1)+(x4/x2)-f2=0;
> [mm]x1^2+x2^2+4*x1*x2*x3*x4-f3=0;[/mm]
> x3*x1+x4*x2-f4 = 0;
Mir fällt auf, dass dieses Gleichungssystem gewisse Symmetrien hat: wenn man gleichzeitig x1 gegen x2 und x3 gegen x4 austauscht, ändert es sich nicht.
Folgende Variablensubstitution könnte helfen:
[mm]y_1 = x_1*x_3,\quad y_2 = x_2*x_4, \quad y_3 = \bruch{x_3}{x_1}, \quad y_4= \bruch{x_4}{x_2}[/mm]
Mit ein paar Umformungen:
[mm]\begin{matrix}
\displaystyle\bruch{y_1}{y_3}* \bruch{y_2}{y_4} &=& f_1^2 \\
y_3 + y_4 &=& f_2 \\
\displaystyle\bruch{y_1}{y_3} + \bruch{y_2}{y_4} + 4 y_1 * y_2 &=& f_3 \\
y_1+y_2 &=& f_4
\end{matrix}[/mm]
Die zweite und vierte Gleichung sind linear, damit kann man [mm]y_2[/mm] und [mm]y_4[/mm] eliminieren. Dann lässt sich die erste Gleichung nach [mm]y_1[/mm] auflösen und in die dritte einsetzen. Die dann zu lösen, ist zwar möglich, aber sehr mühsam.
Viele Grüße
Rainer
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