Nichtlineare Gleichungssysteme < Lin. Gleich.-systeme < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:20 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo zusammen!
Ich habe grad mal eine ganz dumme Frage *schäm*
Was genau ist ein nichtlineares Gleichungssystem bzw. wie sieht es aus?
Also ein lineares Gleichungssystem ist doch ein System mit nur linearen Gleichungen, spricht mit Variablen mit höchster Potenz von 1 (je Gleichung), richtig?
Heißt das, in einem nichtlinearen Gleichungssystem treten dann in den Gleichungen so Sachen wie höhere Potenzen auf?
Ich frage, weil ich mich grad mit Newton befasse, und nun nach dem normalen Netwon-Verfahren das Newton-Verfahren für nichtlineare Gleichungssysteme kommt.
Die Funktion f (deren NST ich suche) geht dann nicht mehr von [mm] \IR\to\IR [/mm] sondern von [mm] V\to{W}, [/mm] V und W beide Vektorräume. Aber wenn ich in mein f nun Vektoren mit n Komponenten reinstecke, und das dann in ein System aus mehreren Gleichungen umschreibe (eine Zeile pro Vektorkomponente --> n Zeilen), dann erhalte ich ja eigentlich wieder ein lineares Gleichungssystem, weil die Komponenten in den Vektoren ja auch nur Potenz 1 haben ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Kann mir jemand helfen?
Schonmal vielen Dank!
LG, Nadine
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:46 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Blech |
$f(x,y)=( [mm] e^x*y^2; [/mm] x+y)$,
V ist [mm] $\IR^2$, [/mm] W ist [mm] $\IR_+\times \IR$.
[/mm]
$f(x,y)=(2;3)$ ist ein NLGS.
x+y=3 mag linear sein,
[mm] $e^x*y^2=2$ [/mm] ist es aber nicht.
Allgemein hast Du ein NLGS sobald mindestens eine der Komponenten nichtlinear ist.
ciao
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Fr 10.04.2009 | | Autor: | Pacapear |
Hallo Stefan!
heißt das, folgendes ist ein Nichtlineares Gleichungssystem:
[mm] \pmat{ 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n } [/mm] * [mm] \vektor{a_0 \\ a_1 \\ \cdots \\ a_n} [/mm] = [mm] \vektor{f_0 \\ f_1 \\ \cdots \\ f_n}
[/mm]
Weil ich hab ja dann n+1 Gleichungen, in jeder treten Potenzen größer 1 auf, also nicht linear, richtig?
Weil mein Buch schreibt darüber folgendes:
[...]so lassen sich die Interpolationsbedingungen als lineares Gleichungssystem [mm] \pmat{ 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n } [/mm] * [mm] \vektor{a_0 \\ a_1 \\ \cdots \\ a_n} [/mm] = [mm] \vektor{f_0 \\ f_1 \\ \cdots \\ f_n} [/mm] formulieren.[...]
Das verwirrt mich grad was, lineare Gleichungen sind doch Polynome vom Grad 1, oder?
LG, Nadine
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:33 Fr 10.04.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Nadine!
> heißt das, folgendes ist ein Nichtlineares
> Gleichungssystem:
>
> [mm]\pmat{ 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n } * \vektor{a_0 \\ a_1 \\ \cdots \\ a_n} = \vektor{f_0 \\ f_1 \\ \cdots \\ f_n}[/mm]
>
> Weil ich hab ja dann n+1 Gleichungen, in jeder treten
> Potenzen größer 1 auf, also nicht linear, richtig?
Das kommt darauf an, was die Unbekannten sind. Es ist ein lineares Gleichungssystem für die Variablen [mm] $a_i$, [/mm] aber ein nichtlineares Gleichungssystem für die Variablen [mm] $t_i$.
[/mm]
> Weil mein Buch schreibt darüber folgendes:
>
> [i][...]so lassen sich die Interpolationsbedingungen als lineares Gleichungssystem
> [mm]\pmat{ 1 & t_0 & t_0^2 & \cdots & t_0^n \\ 1 & t_1 & t_1^2 & \cdots & t_1^n \\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ 1 & t_n & t_n^2 & \cdots & t_n^n } * \vektor{a_0 \\ a_1 \\ \cdots \\ a_n} = \vektor{f_0 \\ f_1 \\ \cdots \\ f_n}[/mm] formulieren.[...]
Hier sind wohl die [mm] $a_i$ [/mm] die unbekannten Größen, und die kommen nur linear vor.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
|
![[huepf]](/images/smileys/huepf.gif "[huepf]"){kind=small}
