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| Aufgabe | Wir betrachten das folgende nichtlineare Dirichletproblem:
[mm] -\Delta [/mm] u + [mm] \lambda |grad(u)|^{m} [/mm] = f in [mm] \Omega
[/mm]
u = 0 auf [mm] \partial\Omega
[/mm]
wobei [mm] \Omega [/mm] eine offene, beschränkte Teilmenge des [mm] \IR^{d} [/mm] mit regulärem Rand ist, m [mm] \in \IR [/mm] m > 1, [mm] \lambda \in \IR [/mm] strikt positiv und f: [mm] \Omega \to \IR_{+}.
[/mm]
Wir nehmen an es gibt eine klassische Lösung u [mm] \in C^{3}(\Omega).
[/mm]
Zu zeigen ist lediglich:
[mm] u(x)\ge [/mm] 0 für alle [mm] x\in\Omega [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo zusammen,
obige Aufgabe ist aus einem PDE Kurs. Es ist ds erste mal, dass ich es mit einenr nichtlinearen Variante zu tun habe und ich weiss leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen kann. Ich dachte zunächst in Richtung Maximumprinzip, aber mit diesem blöden nichtlinearen Term funktioniert leider nichts. Was mich auch ein wenig irritiert ist, dass wir es mit einer Potenz des Gradienten zu tun haben. Habe mich ein wenig im Netz umgeschaut und dort meistens nur nichtlineare Gleichungen gefunden, in denen lediglich die Funktion u und nicht ihre partiellen Ableitungen Argument einer nichtlinearen Funktion sind. Hat diese Gleichung einen speziellen Namen? Würde mich interessieren wie man mit solchen Fällen umgeht. Wenn also jemand eine Interessante Referenz hat wäre ich dafür auch sehr dankbar.
Vielen dank im voraus an alle bemühten Forenmitglieder : )
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:37 Mi 27.06.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Erstmal herzlich ![[willkommenvh]](/images/smileys/willkommenvh.png "[willkommenvh]")
> Wir betrachten das folgende nichtlineare Dirichletproblem:
>
> [mm]\Delta u = \lambda |grad(u)|^{m} = f[/mm] in [mm]\Omega[/mm]
> u = 0 auf [mm]\partial\Omega[/mm]
Ich nehme an, das erste Gleichheitszeichen soll ein Pluszeichen sein, also
[mm] \Delta u + \lambda |grad(u)|^{m} = f[/mm]
> wobei [mm]\Omega[/mm] eine offene, beschränkte Teilmenge des
> [mm]\IR^{d}[/mm] mit regulärem Rand ist, m [mm]\in \IR[/mm] m > 1, [mm]\lambda \in \IR[/mm]
> strikt positiv und f: [mm]\Omega \to \IR_{+}.[/mm]
> Wir nehmen an es
> gibt eine klassische Lösung u [mm]\in C^{3}(\Omega).[/mm]
>
> Zu zeigen ist lediglich:
> [mm]u(x)\ge[/mm] 0 für alle [mm]x\in\Omega[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo zusammen,
> obige Aufgabe ist aus einem PDE Kurs. Es ist ds erste mal,
> dass ich es mit einenr nichtlinearen Variante zu tun habe
> und ich weiss leider nicht, wie ich diese Aufgabe lösen
> kann. Ich dachte zunächst in Richtung Maximumprinzip, aber
> mit diesem blöden nichtlinearen Term funktioniert leider
> nichts. Was mich auch ein wenig irritiert ist, dass wir es
> mit einer Potenz des Gradienten zu tun haben. Habe mich ein
> wenig im Netz umgeschaut und dort meistens nur nichtlineare
> Gleichungen gefunden, in denen lediglich die Funktion u und
> nicht ihre partiellen Ableitungen Argument einer
> nichtlinearen Funktion sind. Hat diese Gleichung einen
> speziellen Namen? Würde mich interessieren wie man mit
> solchen Fällen umgeht. Wenn also jemand eine Interessante
> Referenz hat wäre ich dafür auch sehr dankbar.
> Vielen dank im voraus an alle bemühten Forenmitglieder :)
Ich würde erstmal den üblichen Trick probieren: die DGL mit u multiplizieren und über [mm] $\Omega$ [/mm] integrieren.
Durch partielle Integration des ersten Summanden ergibt sich auf der linken Seite der Gleichung eine Größe, die [mm] $\ge [/mm] 0$ ist.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
erstmal danke für die Antwort. Dann muss ich mich direkt entschuldigen, dass ich die Angabe falsch abgetippt habe, was ich aber mittlerweile korrigiert habe (= durch + ersetzt UND vor dem Laplaceoperator steht ein - (!))
Wenn ich also jetzt über [mm] \Omega [/mm] integriere und partielle Integration/Green benutze erhalte ich
[mm] \integral{|grad(u)|^{2}} [/mm] + [mm] \integral{\lambda |grad(u)|^{m}u} [/mm] = [mm] \integral{fu}
[/mm]
was man zur Übersicht noch umstellen kann:
[mm] \integral{|grad(u)|^{2}} [/mm] = [mm] \integral{(f-\lambda |grad(u)|^{m})u}
[/mm]
Aber wie schließe ich daraus, dass u [mm] \ge [/mm] 0?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 30.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 So 01.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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