Nichttriviale Lösungen gesucht < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Fr 09.05.2008 | | Autor: | sqoody |
| Aufgabe | Gegeben ist das von [mm] k\in\IR [/mm] abhängige lineare Gleichungssystem:
x + 3ky = 0
2kx + (k+1)y = 0
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Meine Frage ist: Für welche Werte von k besitzt das System nichttriviale Lösungen und welche Lösungen wären dies?
Ist wahrscheinlich nicht schwer zu lösen aber ich komme einfach nicht darauf...hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke.
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Hallo sqoody,
> Gegeben ist das von [mm]k\in[/mm] IR abhängige lineare
> Gleichungssystem:
>
> x + 3ky = 0
> 2kx + (k+1)y = 0
>
> Meine Frage ist: Für welche Werte von k besitzt das System
> nichttriviale Lösungen und welche Lösungen wären dies?
>
> Ist wahrscheinlich nicht schwer zu lösen aber ich komme
> einfach nicht darauf...hoffe mir kann jemand weiterhelfen.
> Danke.
Eliminiere den ersten Eintrag in der 2.Gleichung, also das $2kx$, indem du das $-2k$ -fache der ersten Gleichung zur zweiten Gleichung addierst. Dann bekommst du:
[mm] $\vmat{x&+&3ky&=&0\\0&+&(-6k^2+k+1)y&=&0}$
[/mm]
Das hat eine (unendlich) viele nicht triviale Lösung(en), falls der Koeffizient vor dem y in der neuen 2.Gleichung =0 ist, denn dann stüde dort für beliebiges y immer [mm] 0\cdot{}y=0, [/mm] also 0=0, was stets wahr ist....
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:10 Mo 16.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Also als Antwort für nichttriviale Lösungen habe ich nun für [mm] k=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] k=-\bruch{1}{3}
[/mm]
Dies sollte soweit stimmen, hoffe ich?!
Die Lösung für k= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] ist dann [mm] (-\bruch{3}{2}y/y)
[/mm]
Nun hänge ich aber an der Lösung für [mm] k=-\bruch{1}{3} [/mm] fest....
kann mir diese jemand erklären?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:30 Mo 16.06.2008 | | Autor: | sqoody |
Naja das ist es ja...bis dahin habe ich es auch gemacht und verstanden (ist mir ja schon peinlich gerade)....nur den letzten Schritt eben....die Lösungsmenge ist ja nicht(y/y).
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Hallo nochmal,
> Naja das ist es ja...bis dahin habe ich es auch gemacht und
> verstanden (ist mir ja schon peinlich gerade)....nur den
> letzten Schritt eben....die Lösungsmenge ist ja nicht(y/y).
Wieso denn nicht? Es ist zumindest ein Lösungsvektor, die Lösungsgesamtheit oder -menge ist die Menge aller Vektoren [mm] $\left\{\vektor{y\\y}\mid y\in\IR\right\}$
[/mm]
Du kannst mit der 2.Gleichung 0=0 einen Parameter frei vergeben, setze y:=t mit [mm] t\in\IR
[/mm]
Dann ist mit der 1. Gleichung [mm] $x-y=0\gdw x-t=0\gdw [/mm] x=t$
Also Lösungsmenge: [mm] $\mathbb{L}=\left\{\vektor{x\\y}\in\IR^2\mid\vektor{x\\y}=\vektor{t\\t}=t\cdot{}\vektor{1\\1}, \ t\in\IR\right\}$
[/mm]
Stimmt also 
LG
schachuzipus
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