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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:02 So 20.09.2015 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei [mm] X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0 \}
[/mm]
Wir geben für jedes p=(a,b) [mm] \in [/mm] X eine Umgebungsbasis an:
b>0: [mm] \mathcal{W}_p [/mm] := [mm] \{ B_{\epsilon} (p): 0 < \epsilon \le b\}
[/mm]
b=0: [mm] \mathcal{W}_p [/mm] := [mm] \{ C_{\epsilon} (p): \epsilon>0 \}
[/mm]
wobei [mm] C_{\epsilon} [/mm] (p) [mm] =\{q=(x,y) \in X| d(m,q) < \epsilon\} \cup \{(a,0)\} [/mm] mit [mm] m=(a,\epsilon)
[/mm]
Die entstehende Topologie heißt Niemytzki-Topologie.
1)Zeigen Sie die Niemytzki-Topologie [mm] \tau_{N} [/mm] induziert auf [mm] H:=\{(x,0): x \in \mathbb{R}\} [/mm] die diskrete Topologie [mm] \mathcal{O}_{dis} [/mm] und auf [mm] R:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y>0 \} [/mm] die natüliche Topologie [mm] \mathcal{O}_n.
[/mm]
2)Frage: In Büchern steht beim Vergleich der euklidischen(natürlichen Topologie) mit der Niemytzki-Topologie, dass die Niemytzki-Topologie feiner ist. Aber wie kann man die offenen Mengen mit Elementen auf der x-Achse vergleichen? |
1)
Dass [mm] \mathcal{W}_x\forall x\in [/mm] X die Axiom (UB1)-(UB3) erfüllt ist schon gemacht und klar. Daraus folgt, dass es eine eindeutige Topologie - die Niemytzki Topologie - definiert.
a) [mm] R:=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 : y>0 \}
[/mm]
Sei [mm] \mathcal{B}_x [/mm] die Umgebungsbasis für [mm] x\in [/mm] R bezüglich der natürlichen Topologie: [mm] \mathcal{B}_x :=\{ B_{\epsilon}(x)| \epsilon>0 \}=\{ y \in R:d(x,y)< \epsilon| \epsilon>0\} [/mm] (schon gezeigt)
Da [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R : B [mm] \in \mathcal{B}_x \iff [/mm] B [mm] \in \mathcal{W}_x
[/mm]
folgt:
[mm] O\subseteq [/mm] R, O [mm] \in \tau_{N} \iff \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists [/mm] V [mm] \in \mathcal{W}_x: [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] O
V [mm] \in \mathcal{W}_x=\mathcal{B}_x
[/mm]
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] O [mm] \exists [/mm] V [mm] \in \mathcal{B}_x: [/mm] V [mm] \subseteq [/mm] O
[mm] \iff [/mm] O [mm] \subseteq [/mm] R, O in [mm] \mathcal{O}_n [/mm] Standartopologie
b) [mm] H:=\{(x,0): x \in \mathbb{R}\} [/mm]
Suche nach Umgebungsbasis von [mm] \mathcal{O}_{dis}
[/mm]
Sei x [mm] \in [/mm] X so ist jedes O [mm] \subseteq [/mm] X mit x [mm] \in [/mm] O eine Umgebung von x. Da O [mm] \in \mathcal{O}_{dis}
[/mm]
[mm] \mathcal{U}_x [/mm] := [mm] \{ O \subseteq X| x \in O\} [/mm] ist dann ein Umgebungssystem von x bez. der Diskreten Topologie
Sei [mm] \mathcal{D}_x:= \{\{x\}\}, [/mm] so ist [mm] \mathcal{D}_x \subseteq \mathcal{U}_x [/mm] und [mm] \forall [/mm] U [mm] \in \mathcal{U}_x [/mm] :x [mm] \in \{x\} \subseteq [/mm] U
Also ist [mm] \mathcal{D}_x [/mm] eine Umgebunsbasis von der Diskreten Topologie.
Umgebungsbasen Vergleich
Sei x [mm] \in [/mm] H d.h. [mm] x=(x_1,0).
[/mm]
Sei B [mm] \in \mathcal{D}_x: B=\{x\} \in \mathcal{W}_x [/mm] (da künstlich dazu genommen)
D.h. jede offene Menge in der diskreten Topologie in H ist auch offen in der NiemitzkiTopologie. Da die diskrete Topologie die feinstmöglichste Topologie ist muss die Niemitzki damit übereinstimmen.
2)Wie sehen die Umgebungen bzw. eine Umgebungsbasis von [mm] (x_1, [/mm] 0) mit [mm] x_1 \in \mathbb{R} [/mm] der oberen Halbebene [mm] X=\{(x,y) \in \mathbb{R}^2 | y \ge 0 \} [/mm] bezüglich der Standarttopologie aus?
Eine Umgebung um x ist so definiert, dass es eine offene Umgebung gibt die diese und den Punkt x ganz enthält.
Hier: U Umgebung von x [mm] \in [/mm] X [mm] \iff \exists \epsilon>0: x\in B_{\epsilon} [/mm] (x) [mm] \subseteq [/mm] U.
Aber jede [mm] B_{\epsilon} [/mm] (x) ist nur als Halbkreis in der Halbebene..Also gibt es keine Umgebungen um [mm] x=(x_1, [/mm] 0)?
Heißt, dass jede Menge die einen Punkt der x-Achse enthält ist nicht offen bezüglich der Standarttopologie in X?
LG,
Sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:41 Mo 21.09.2015 | | Autor: | huddel |
Hallo Sissi,
du solltest vllt etwas mehr Zeit für eine Antwort geben als ein Tag :P
Ich geh mal der Reihe nach durch:
1a.: ich glaube dein Ansatz ist richtig, nur sind ein paar Ungenauigkeiten drin:
1.: Du behauptest: $ [mm] \mathcal{B}_x :=\{ B_{\epsilon}(x)| \epsilon>0 \}=\{ y \in R:d(x,y)< \epsilon| \epsilon>0\} [/mm] $
Das ist leider falsch. Du meinst das richtige, aber vorne steht eine Menge von Mengen, hinten nur noch eine Menge. Das sollte korrekt sein.
2.: Behauptung: [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R : B [mm] \in \mathcal{B}_x \iff [/mm] B [mm] \in \mathcal{W}_x$
[/mm]
nicht ganz richtig, du hast bei [mm] $\mathcal{}_x$ [/mm] eine Einschränkung mehr, die bei [mm] $\mathcal{B}_x$ [/mm] fehlt, was aber einen kleinen Unterschied macht. Du hast also nur eine Implikation (welche?)
3.: Ab hier komm ich nicht mehr weiter. Was ist $G$?
1b: sieht richtig aus
2: Im Grunde richtig. Trotzdem Vorsicht: Was ist die Standardtopologie von $X$? Wenn du die Teilraumtopologie induziert durch die Euklidische Topologie des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] meinst ist deine Aussage falsch, dass es keine Umgebung gibt. Wenn du die durch die Metrik auf $X$ induziere Topolgie meinst, wirst du whrscheinlich recht haben, dass es keine Umgebungen um den Punkt [mm] $x=(x_1,0)$ [/mm] gibt, aber auch nur bezüglich der genannten Topologie. die Niemitzkitopologie ist ha gerade so gemacht, dass diese Punkte noch Umgebungen besitzen.
Wenn du das so beachtest stimmt das, was du da sagst :)
LG
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