Nilpotent < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:42 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
Hallo Ihr!
ich habe eine frage zu der folgenden Aufgabe:
Für n aus den natürlichen zahlen ist V der UVR
V= [mm] \summe_{i+j \le n} a_{ij}X^{i}Y^{j} [/mm] mit [mm] a_{ij} \in \IR [/mm] von [mm] \IR[X,Y]
[/mm]
[mm] D_{X} [/mm] und [mm] D_{Y} [/mm] sind gegeben durch [mm] D_{X}(P)=Y \bruch{ \partial P}{ \partial X} [/mm] und [mm] D_{Y}(P)=X \bruch{ \partial P}{ \partial Y} [/mm] , wobei das letztgenannte die parteiellen ableitungen sind.
Kann mir jetzt bitte wer zeuigen das [mm] D_{X} [/mm] und [mm] D_{Y} [/mm] nilpotent sind?
Mfg Arne
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:48 Mo 08.05.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Arne!
> ich habe eine frage zu der folgenden Aufgabe:
> Für n aus den natürlichen zahlen ist V der UVR
> V= [mm]\summe_{i+j \le n} a_{ij}X^{i}Y^{j}[/mm] mit [mm]a_{ij} \in \IR[/mm]
> von [mm]\IR[X,Y][/mm]
>
> [mm]D_{X}[/mm] und [mm]D_{Y}[/mm] sind gegeben durch [mm]D_{X}(P)=Y \bruch{ \partial P}{ \partial X}[/mm]
> und [mm]D_{Y}(P)=X \bruch{ \partial P}{ \partial Y}[/mm] , wobei das
> letztgenannte die parteiellen ableitungen sind.
> Kann mir jetzt bitte wer zeuigen das [mm]D_{X}[/mm] und [mm]D_{Y}[/mm]
> nilpotent sind?
Nilpotent heißt doch in diesem Zusammenhang ganz lax, daß ich die 0-Abb. kriege, wenn ich [mm] D_{X} [/mm] (bzw. [mm] D_{Y}) [/mm] oft genug hintereinander ausführe. Aber für [mm] D_{X} [/mm] ist Y doch eine Konstante, d. h. bei jeder Anwendung von D sinkt der Grad des Polynoms in X um 1. Und so komme ich dann erst zu den Konstanten und dann zur Null.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:11 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
hey danke schon mal...
aber wie schreibe ich das denn am besten auf...ab mit dem hinschreiben bei so was immer probleme..
wäre nett wenn du mir das noch mal sagen könntest.
danke arne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:45 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Arne!
Ich denke man kann es ganz gut aufschreiben, wenn man ausnutzt, dass [mm] $\left(\frac{d}{d x}\right)^{n+1}$ [/mm] der Nulloperator ist (also alles auf 0 abbildet), und dass $y [mm] \frac{d}{d x} [/mm] f = [mm] \frac{d}{d x} [/mm] (y f)$ ist, also dass $y$ mit [mm] $\frac{d}{d x}$ [/mm] kommutiert.
Diese zwei Fakten sind recht einfach zu zeigen, und wenn du sie zusammenschmeisst bekommst du das was du zeigen willst...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:17 Mo 08.05.2006 | | Autor: | Arnbert |
probiere da jetzt die ganze zeit dran rum aber das klappt irgendwie nicht.bekomme das nix gescheites hin.kannst du mir vielleicht kurz sagen wie das geht und wie man dann dass zusammenschmeißt dammit man hat was man braucht?
das wäre nett, bis denn arne
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Arne!
> probiere da jetzt die ganze zeit dran rum aber das klappt
> irgendwie nicht.bekomme das nix gescheites hin.kannst du
> mir vielleicht kurz sagen wie das geht und wie man dann
> dass zusammenschmeißt dammit man hat was man braucht?
> das wäre nett, bis denn arne
Du hast: [mm] $D_X^n(f) [/mm] = [mm] (D_X \circ D_X \circ \dots \circ D_X)(f) [/mm] = (Y [mm] \frac{\partial}{\partial X} [/mm] Y [mm] \frac{\partial}{\partial X} \dots [/mm] Y [mm] \frac{\partial}{\partial X})(f) [/mm] = (Y [mm] \frac{\partial}{\partial X})^n [/mm] f = [mm] Y^n \frac{\partial^n}{\partial X^n} [/mm] f$, da $Y$ und [mm] $\frac{\partial}{\partial X}$ [/mm] kommutieren. Wenn du jetzt $n$ gross genug waehlst...
LG Felix
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