Nilpotent und Eigenwert < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:01 Mo 23.01.2012 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | | Es sei [mm] A\in M(nxn,\IR). [/mm] Ferner sei A nilpotent, d.h. dass es ein [mm] k\inN [/mm] gibt mit [mm] A^k=0. [/mm] Zeigen Sie, dass A als einzige Eigenwert [mm] \lambda=0 [/mm] hat. |
Juten Tag,
ich hab mal angefangen:
[mm] A*\vec{v}=\lambda*\vec{v}
[/mm]
[mm] A^R*\vec{v}=0=\lambda^k*\vec{v}
[/mm]
[mm] A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v}
[/mm]
[mm] -->A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v}
[/mm]
So kann ich das bis dahin so schließen? Nun wei0 ich aber nicht mehr weiter, ich muss ja irgendwie drauf schließen, dass [mm] \lambda=0 [/mm] ist oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:11 Mo 23.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Es sei [mm]A\in M(nxn,\IR).[/mm] Ferner sei A nilpotent, d.h. dass
> es ein [mm]k\inN[/mm] gibt mit [mm]A^k=0.[/mm] Zeigen Sie, dass A als einzige
> Eigenwert [mm]\lambda=0[/mm] hat.
> Juten Tag,
>
> ich hab mal angefangen:
>
> [mm]A*\vec{v}=\lambda*\vec{v}[/mm]
> [mm]A^R*\vec{v}=0=\lambda^k*\vec{v}[/mm]
Was ist R ? Soll wohl das k sein ?
> [mm]A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v}[/mm]
> [mm]-->A^R*B*\vec{v}=0=B*\lambda^k*\vec{v}[/mm]
Völlig chaotisch ! Was ist B ? Was hat das da zu suchen ?
1 Zunächst mal ganz allgemein:
Ist A eine nxn - Matrix, v [mm] \in \IR^n [/mm] und [mm] \lambda \in \IR, [/mm] so folgt aus Av= [mm] \lambda [/mm] v, auch
$A^mv= [mm] \lambd^mv [/mm] $ für jedes m [mm] \in \IN.
[/mm]
Ist Dir das klar ? Beweisen kannst Du das locker mit Induktion.
2. Zu Deiner Aufgabe: sei also [mm] A^k=0 [/mm] für ein k [mm] \in \IN. [/mm] Ist [mm] \lambda [/mm] ein Eigenwert von A, so gibt es ein v [mm] \in \IR^n [/mm] mit: v [mm] \ne [/mm] 0 und Av= [mm] \lambda [/mm] v.
So, nun versuche mal mit 1. zu zeigen, dass [mm] \lambda=0 [/mm] folgt.
FRED
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> So kann ich das bis dahin so schließen? Nun wei0 ich aber
> nicht mehr weiter, ich muss ja irgendwie drauf schließen,
> dass [mm]\lambda=0[/mm] ist oder?
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