Nilpotente Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei A eine nilpotente Matrix. Zeigen Sie: det( En + A) = 1 |
Hallo,
den Ansatz den ich zu dieser Aufgabe hatte ist glaube ich leider falsch, ich bin davon ausgegangen, dass jede nilpotente Matrix eine echte obere Dreiecksmatrix ist, dann wäre die Aufgabe ganz einfach, weil dann nach der Addition mit En auf der Daigonalen nur Einser stehen.
Da dies aber, so glaube ich nicht stimmt, hoffe ich, dass mir schnellst möglich jemand weiterhelfen kann.
Sportsprinter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:16 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sportsprinter!
> Sei A eine nilpotente Matrix. Zeigen Sie: det( En + A) = 1
Weisst du schon, dass das charakteristische Polynom einer nilpotenten $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix einfach gleich [mm] $X^n$ [/mm] ist? Wenn nein, solltest du das zuerst zeigen. Benutze dein Wissen ueber Minimalpolynom und charakteristisches Polynom (insb. was davon teilt was).
Wenn du das hast, ist es ganz einfach: Werte das charakteristische Polynom an der passenden Stelle aus.
LG Felix
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Charakteristisches Polynom hatten wir schon, Minimalpolynom zwar nicht, aber das spielt wohl keine Rolle. Ich komm nur gerade nicht drauf, wie ich hier das charakteristische Polynom richtig einsetz.
Sportsprinter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Sportsprinter!
> Charakteristisches Polynom hatten wir schon, Minimalpolynom
> zwar nicht, aber das spielt wohl keine Rolle.
Genau.
> Ich komm nur gerade nicht drauf, wie ich hier das charakteristische
> Polynom richtig einsetz.
Die Definition des charakteristischen Polynoms [mm] $P_A$ [/mm] der Matrix $A$ ist ja grad [mm] $P_A(t) [/mm] = [mm] \det(t E_n [/mm] - A)$. So, und wenn du nun [mm] $P_A(-1)$ [/mm] anschaust, so ist das gerade [mm] $\det(-E_n [/mm] - A) = [mm] \det(-(E_n [/mm] + A))$. Jetzt noch das Minus herausziehen und du hast es!
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:35 Mo 08.05.2006 | | Autor: | baskolii |
Mmh, dann bekommt man doch [mm] (-1)^n.
[/mm]
Also det(En+A)=1, wenn n gerade und sonst -1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mo 08.05.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Verena!
> Mmh, dann bekommt man doch [mm](-1)^n.[/mm]
Ja. Allerdings ist [mm] $(-1)^n$ [/mm] ja auch gleich [mm] $P_A(-1)$, [/mm] und da [mm] $P_A [/mm] = [mm] x^n$ [/mm] ist ist dies also ebenfalls [mm] $(-1)^n$. [/mm] Damit ist [mm] $\det (E_n [/mm] + A) = [mm] \frac{\det(-(E_n + A))}{P_A(-1)} [/mm] = [mm] \frac{(-1)^n}{(-1)^n} [/mm] = 1$.
LG Felix
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