Nilpotente Matrix < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hallo!
Ich bin´s mal wieder.
Und zwar hab ich ne Aufgabe:
Ich soll zeigen: Sind A, B [mm] \in Mat_{n}(K) [/mm] nilpotent und gilt [A,B]=0, so folgt, dass A+B nilpotent ist.
Nun meine Lösung:
Lt. Vor. ist A nilpotent, d.h. es ex. n [mm] \in \IN, [/mm] so dass gilt: [mm] A^{n}=0
[/mm]
ebenso: [mm] B^{l}=0
[/mm]
Wenn [A,B]=0, dann gilt: [mm] (A+B)^{m}= \summe_{k=0}^{m} \vektor{m \\ k}A^{k}B^{m-k}=B^{m}+mAB^{m-1}+ \vektor{m \\ 2}A^{2}B^{m-2}+...+ \vektor{m \\ m-1}A^{m-1}B+A^{m}=B^{l}B^{m-l}+mAB^{l}B^{m-l-1}+...+ \vektor{... \\ ...}A^{n}B^{l}+...+A^{n}A^{m-n}
[/mm]
Ich muss ja jetzt zeigen, dass es ein m [mm] \in \IN [/mm] gibt, dass das ganze 0 gibt.
Das ganze wird ja Null, falls gilt: n, l [mm] \le [/mm] m und m=n+l.
Stimmt das so, oder muss man das genauer begründen oder erklären?
Danke schon mal
Gruß
Annette
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Annette
Ich würde sagen, dass es so reicht.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Nette |
Hi!
Ok. Danke vielmals.
Gruß
Annette
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