Nilpotente Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:33 Mi 28.05.2008 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen für eine Matrix A [mm] \in [/mm] Mat (n x n; K) äquivalent sind:
(1) A ist nilpotent
(2) Es ex. ein C [mm] \in Gl_{n}(K), [/mm] sodass [mm] C^{-1}AC [/mm] eine obere Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen ist.
Hinweis : Zeigen Sie, dass es ein [mm] D\in Gl_{n}(K) [/mm] gibt, sodass
[mm] D^{-1}AD= \pmat{ 0 |& & \* & \\ -|& - & - &- \\ 0 |& & & \\ \vdots |& & B & \\0 |& & & } [/mm]
und B [mm] \in [/mm] Mat ((n-1) x (n-1); K) nilpotente Matrix ist. |
Hallo,
also ich weiß dass eine Matrix nilpotent ist, wenn [mm] A^{k}=0 [/mm] ist, aber wie ich das hier in dem Zusammenhang verwenden soll, weiß ich nicht.
Ich wäre für jeden Ansatz dankbar.
Zweiti
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> Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen für eine Matrix A
> [mm]\in[/mm] Mat (n x n; K) äquivalent sind:
> (1) A ist nilpotent
> (2) Es ex. ein C [mm]\in Gl_{n}(K),[/mm] sodass [mm]C^{-1}AC[/mm] eine obere
> Dreiecksmatrix mit Nullen auf der Diagonalen ist.
>
> Hinweis : Zeigen Sie, dass es ein [mm]D\in Gl_{n}(K)[/mm] gibt,
> sodass
> [mm]D^{-1}AD= \pmat{ 0 |& & \* & \\ -|& - & - &- \\ 0 |& & & \\ \vdots |& & B & \\0 |& & & }[/mm]
> und B [mm]\in[/mm] Mat ((n-1) x (n-1); K) nilpotente Matrix ist.
> Hallo,
> also ich weiß dass eine Matrix nilpotent ist, wenn [mm]A^{k}=0[/mm]
> ist, aber wie ich das hier in dem Zusammenhang verwenden
> soll, weiß ich nicht.
>
> Ich wäre für jeden Ansatz dankbar.
Hallo,
Du solltest wissen oder Dir überlegen, daß nilpotente nxn-Matrizen den n-fachen Eigenwert 0 haben.
Also haben sie einen Eigenvektor [mm] v_0, [/mm] welchen Du zu einer Basis B des [mm] K^n [/mm] ergänzen kannst.
Wenn D die Matrix ist, die Dir die Transformation von von B zur Standardbasis durchführt, so bekommst Du das als Hinweis gegebene Resultat.
Für [mm] A^k=0 [/mm] berechne nun [mm] (D^{-1}AD)^k [/mm] unter Berücksichtugung der Tatsache, daß Du hier Blockmatizen multiplizierst.
Gruß v. Angela
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