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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:29 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Sauri |
| Aufgabe | | R = {(x,y) [mm] \in \IN [/mm] x [mm] \IN [/mm] | x - y ist durch 2 teilbar } |
Hallo zusammen ich tue mich ziehmlich schwer damit Begriffe wie "reflexiv, symetrisch und transitiv" praktisch auf Aufgaben anzuwenden. Folgende Aufgabe ist aus einem Buch das ich gerade durcharbeite.
zu reflexiv: das bedeutet x [mm] \sim [/mm] x für alle x [mm] \in \IN
[/mm]
x - x = 0. Und die 2 ist wegen 2 * 0 = 0 auch gemeinsamer Teiler von 0.
Also ist die Relation reflexiv!
zu symetrisch:
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] y [mm] \sim [/mm] x
x [mm] \sim [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x - y = 2n
y [mm] \sim [/mm] x [mm] \gdw [/mm] -(x-y) = 2m = y-x = 2m
So und jetzt wirds' schwierig wie zeige ich den hier jetzt formal die Symetrie? Oder das sie nicht vorhanden ist.
zu tansitiv:
x [mm] \sim [/mm] y und y [mm] \sim [/mm] z [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \sim [/mm] z
x \ sim y [mm] \gdw [/mm] x - y = 2n
y [mm] \sim [/mm] z [mm] \gdw [/mm] y - z = 2m
= (x - y) + (y - z) = 2n + 2m
= x - z = 2(n + m)
Ist jetzt (n + m) das neue Element? Das zeigt, dass zeigt x [mm] \sim [/mm] z gilt?
Und wie oben beschrieben bei der Symetrie weiß ich nicht genau wie ich das zeigen soll.
Wie immer vielen vielen Dank für eure Hilfe!
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Sauri,
> R = {(x,y) [mm]\in \IN[/mm] x [mm]\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| x - y ist durch 2 teilbar }
> Hallo zusammen ich tue mich ziehmlich schwer damit
> Begriffe wie "reflexiv, symetrisch und transitiv" praktisch
> auf Aufgaben anzuwenden. Folgende Aufgabe ist aus einem
> Buch das ich gerade durcharbeite.
>
> zu reflexiv: das bedeutet x [mm]\sim[/mm] x für alle x [mm]\in \IN[/mm]
> x - x = 0. Und die 2 ist wegen 2 * 0 = 0 auch gemeinsamer
> Teiler von 0.
> Also ist die Relation reflexiv! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> zu symetrisch:
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] y [mm]\sim[/mm] x
[mm][\Rightarrow][/mm] reicht:
Für alle [mm](x,y)\in R[/mm] gilt: [mm]x\sim y \ \Rightarrow \ y\sim x[/mm]
Andersherum folgt das dann direkt ...
>
> x [mm]\sim[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x - y = 2n
> y [mm]\sim[/mm] x [mm]\gdw[/mm] -(x-y) = 2m = y-x = 2m
>
> So und jetzt wirds' schwierig wie zeige ich den hier jetzt
> formal die Symetrie? Oder das sie nicht vorhanden ist.
Na, du hast doch schon die richtige Idee!
[mm]x\sim y[/mm] heißt 2 teilt [mm]x-y[/mm], also [mm]x-y=2n[/mm] mit [mm]n\in\IZ[/mm]
Dann ist - wie du schon schriebst - [mm]y-x=-(x-y)=-2n=2\cdot{}(-n)[/mm]
Also [mm]y-x[/mm] auch ein Vielfaches von 2 (das (-n)-fache)
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> zu tansitiv:
> x [mm]\sim[/mm] y und y [mm]\sim[/mm] z [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\sim[/mm] z
>
> x \ sim y [mm]\gdw[/mm] x - y = 2n
> y [mm]\sim[/mm] z [mm]\gdw[/mm] y - z = 2m
>
> = (x - y) + (y - z) = 2n + 2m
> = x - z = 2(n + m)
>
> Ist jetzt (n + m) das neue Element? Das zeigt, dass zeigt x
> [mm]\sim[/mm] z gilt?
Genau, mit [mm]n,m\in \IZ[/mm] ist auch [mm]n+m\in\IZ[/mm], also [mm]x-z[/mm] ein Vielfaches von 2 ...
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> Und wie oben beschrieben bei der Symetrie weiß ich nicht
> genau wie ich das zeigen soll.
>
> Wie immer vielen vielen Dank für eure Hilfe!
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:49 Sa 20.10.2012 | | Autor: | Sauri |
Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Ich war zuerst wegen den -2n irritiert. Denn -2 liegt ja nicht in [mm] \IN [/mm] .
Aber gut damit ist die Aufgabe dann gelöst! Vielen vielen Dank für die schnelle Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:56 Sa 20.10.2012 | | Autor: | reverend |
Hallo Sauri,
> Ich war zuerst wegen den -2n irritiert. Denn -2 liegt ja
> nicht in [mm]\IN[/mm] .
Die Aufgabe ist darin auch nicht geschickt gestellt. [mm] m,n\in\IN [/mm] ist gefordert, aber daraus folgt ja noch nicht, dass (m-n) und (n-m) in [mm] \IN [/mm] liegen (zumal nicht beide gleichzeitig  ).
> Aber gut damit ist die Aufgabe dann gelöst! Vielen vielen
> Dank für die schnelle Hilfe!
Grüße
reverend
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